2020　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}=\theta \text{ラジアン}$

となる四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$0<s<1$を満たす$s$に対して，辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$とおく．また，$0<t<1$を満たす$t$に対して，辺$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{CP}$の長さを$s\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CQ}}$を$s\text{，}$$t\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$s+t=2\cos \theta$のとき，$\mathrm{CP}=\mathrm{CQ}$となることを示せ．

(4)　(3)の仮定のもとで，$\mathrm{PQ}$が最小となるときの$s$を$\theta$を用いて表せ．

$f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}$$g(x)=x^2-2x-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

とする．次の$$をうめよ．

　実数$a$に対して，方程式$f(x)=a$は，$\left|a\right|>\text{①}$のとき$2$個の実数解，$\left|a\right|=\text{①}$のとき$1$個の実数解をもち，$\left|a\right|<\text{①}$のとき実数解をもたない．

　関数$g(x)$は$f(x)$を用いて

$g(x)=\text{②}$

と表される．したがって，実数$b$に対して，$x$が方程式$g(x)=b$の実数解であることと，$x$が方程式$f(x)=1+\sqrt{\text{③}}$または$f(x)=1-\sqrt{\text{③}}$の実数解であることは同値である．よって，$b<\text{④}$のとき$g(x)=b$は実数解をもたない．また，$g(x)=b$は$b=\text{④}$のとき実数解を$1$個，$\text{④}<b<\text{⑤}$のとき実数解を$2$個，$b=\text{⑤}$のとき実数解を$\text{⑥}$個，$b>\text{⑤}$のとき実数解を$\text{⑦}$個もつ．

(1)　関数$\sin (\log x)$の導関数を求めよ．

(2)　$f(x)$の導関数を

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\alpha \cos (g(x))}{x^2}}$

の形で表す．ただし，$\alpha$は正の定数で，$g(x)$は$0<g(1)<2\pi$を満たすものとする．$\alpha$と$g(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$が極大となる$x$で$\log x>0$を満たすものを小さい方から順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{．}$$\cdots \text{，}$$a_n\text{，}$$\cdots$とおく．$a_n$を求めよ．

(4)　$1$以上の整数$n$に対して

$S_n={\displaystyle {\int }_1^{a_n}}|f(x)\mathit{|dx}$

とおく．$S_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n}}$を求めよ．

$z={\left({\displaystyle \frac{x}{a}}\right)}^4+{\left({\displaystyle \frac{y}{b}}\right)}^4$

のとりうる値の範囲は$\text{②}\leqq z\leqq \text{③}$である．

$\log ((e^{2x}-1)(e^x+1))+{\displaystyle \frac{{(\log (e^x+1))}^2}{\log (e^x-1)}}=0$

を解くと，$x=\text{④}$である．

$a_n={\displaystyle \frac{i}{4}}\{{(1-2i)}^n-{(1+2i)}^n\}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき，等式

$a_{n+2}-\text{⑤}{a}_{n+1}+\text{⑥}{a}_n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．ただし，$\text{⑤}$と$\text{⑥}$は実数である．