2020　関西大　後期　文系学部3月4日実施MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を定数とし，座標平面上の放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+ax+b$を考える．次の$$をうめよ．

　$C$が直線$y=-x+2$と接するとき，$b$は$a$を用いて$b=\text{①}$と表される．このとき$C$がさらに$x$軸にも接するとき，$a\text{，}$$b$の値は$a=\text{②}\text{．}$$b=\text{③}$である．

　$C$が直線$y=-x+2$と$x$軸の両方に接するとき，$C$と直線$y=-x+2$の接点の座標は$\text{④}$であり，$C$と$x$軸の接点の座標は$\text{⑤}$である．$C$と直線$y=-x+2$と$x$軸とで囲まれた部分の図形の面積は，$\text{⑥}$である．

【２】　$1$から$5$までの数が$1$つずつ書かれた青のカードと赤のカードが$5$枚ずつ合計$10$枚ある．そこから$2$枚のカードを$1$枚ずつ引き，順に$\mathrm{A}\text{．}$$\mathrm{B}$とする．次の$$をうめよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が同じ色となる確率は$\text{①}$である．また$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に書かれた数が同じになる確率は$\text{②}$である．

(2)　引いたカードが，青の場合はそのカードに書かれた数を，赤の場合はそのカードに書かれた数に$-1$をかけた数を考える．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$についてそれらの数の合計が正になる確率は$\text{③}$である．

(3)　$\mathrm{A}$に書かれた数と$\mathrm{B}$に書かれた数の積が$10$の倍数になる確率は$\text{④}$である．

(4)　$\mathrm{A}$に書かれた数を$\mathrm{B}$に書かれた数で割る．このとき割り切れる確率は$\text{⑤}$である．

【３】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$があり，その重心を$\mathrm{G}$とする．さらに平面上に点$\mathrm{P}$をとって，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の$$をうめよ．

　$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PG}}$は$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$の一部またはすべてを用いて

$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\text{①}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PG}}=\text{②}$

と表される．

　以下では，点$\mathrm{P}$は実数$x\text{，}$$y$に対して，

$9\overrightarrow{\mathrm{PA}}+x\overrightarrow{\mathrm{PB}}+y\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PG}}$$\cdots \text{(＊)}$

を満たす点とする．(＊)より$x+y+8\ne 0$となることがわかる．このとき$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表して，(＊)を用いると

$\overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{1}{3(x+y+8)}}\{(\text{③})\overrightarrow{b}+(\text{④})\overrightarrow{c}\}$

となる．

　点$\mathrm{D}$を辺$\mathrm{BC}$を$5:8$に内分する点とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\text{⑤}\overrightarrow{b}+\text{⑥}\overrightarrow{c}$

である．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点に一致するとき，$(x,y)=\text{⑦}$である．