2020　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】　$x$の多項式$f(x)$を

$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{5}}x+{\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{5}}}$

により定める．このとき，次の$$をうめよ．

(1)　$3$次方程式$f(x)=0$は$2$つの異なる解$\text{①}$と$\text{②}$をもち，$\text{②}$は重解である．

(2)　関数$f(x)$は$x=\text{③}$で極大値$\text{④}$をとり，$x=\text{⑤}$で極小値$\text{⑥}$をとる．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\text{⑦}$である．

【２】　次の$$をうめよ．

　右の図のように，空間内に各辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEFG}$がある．$p$を$0<p\leqq 1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{FD}\text{，}$辺$\mathrm{FE}\text{，}$辺$\mathrm{FG}$を$p:(1-p)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{．}$$\mathrm{R}$とする．また，線分$\mathrm{OP}\text{，}$線分$\mathrm{OQ}\text{，}$線分$\mathrm{OR}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点をそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{Q}}^{\prime }\text{．}$${\mathrm{R}}^{\prime }$とする．${\mathrm{P}}^{\prime }$は直線$\mathrm{OP}$上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}$は実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と表される．よって，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}$は$k\text{，}$$p$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}$$=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(\text{①})\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表される．一方，${\mathrm{P}}^{\prime }$は平面$\mathrm{ABC}$上にもあるから，$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}^{\prime }}$は実数$s\text{．}$$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}^{\prime }}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表される．よって，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}$は$s\text{，}$$t$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}=(\text{②})\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

とも表される．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}$は$p$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}=(\text{③})\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(\text{③})\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(\text{④})\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表される．同様に，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }}\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}^{\prime }}$は$p$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }}=(\text{③})\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(\text{④})\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(\text{③})\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{．}$

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}^{\prime }}=(\text{④})\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(\text{③})\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(\text{③})\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表される．このとき，${{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }}^2=\text{⑤}$であり，三角形${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の面積を$S$とすると，$S={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\text{⑥}}}$である．さらに，$p$が$0<p\leqq 1$の範囲で動くとき．$S$の取りうる値の範囲は$0<S\leqq \text{⑦}$である．

【３】　次の$$をうめよ．ただし，$\text{⑤}$以外は$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\bar{\alpha }\text{，}$$\bar{\beta }$のみを用いた式でうめよ．

　複素数平面上に$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$があり，原点$\mathrm{O}(0)$と$\mathrm{A}\text{．}$$\mathrm{B}$は一直線上にはないとする．線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線を$l$とすると，$l$上の点$z$は等式

$\left|z\right|=|z-\text{①}|$

を満たす．よって，$z$は等式

$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=\text{②}$

を満たす．同様に，線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線を$m$とすると，$m$上の点$z$は等式

$\bar{\beta }z+\beta \bar{z}=\text{③}$

を満たす．このことから，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円を$C$とすると，$C$上の点$z$は等式

$|z-\text{④}|=\left|\text{④}\right|$

を満たすことがわかる．

　$\mathrm{O}$とは異なる$C$上の点$z$に対して$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$と表される$w$全体の表す図形を$S$とする．$\gamma =\text{④}$とおくと，$S$上の点$w$は$\gamma$を用いた等式

$\left|w\right|=|w-\text{⑤}|$

を満たす．$\mathrm{A}$が実軸上にあるとき，$S$は直線$\mathrm{OA}$と共有点${\displaystyle \frac{1}{\text{⑥}}}$をもち，さらに，$\beta \gamma$が純虚数ではないとき，$S$と直線$\mathrm{OB}$の共有点を実数$t$を用いて$t\beta$と表すと，$t={\displaystyle \frac{1}{\text{⑦}-{\left|\beta \right|}^2}}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(1)　$x\text{，}$$y$が連立方程式

$\sin x=y\cos x\text{，}$$\cos 2x=2y\sin 2x$

を満たすとき，${\cos }^{2}x$の値は$\text{①}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(2)　$1$から$10$までの数を$1$つずつ書いた$10$枚のカードの中から同時に$2$枚のカードを取り出し，$2$枚のカードの数の和と積をそれぞれ$X\text{．}$$Y$とする．このとき，$X>Y$となる確率は$\text{②}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}$$\text{（}n=1\text{．}2\text{．}3\text{．}\cdots \text{）}$

により定め，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\text{③}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(4)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とする．$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数

$f(x)=a{\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{x}}}+b{\displaystyle \frac{\cos x}{x}}+c\sqrt{{\displaystyle \frac{\tan x}{x}}}$

が条件

$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=1\text{．}$$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\pi }}}$

を満たすとき，$a+b+c$の値は$\text{④}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^4{(1-x)}^2}{1+x^2}}\mathit{dx}$の値は$\text{⑤}$である．