2020　関西大　推薦システム理工(数学科)学部MathJax

【１】　次の$$をうめよ．

(1)　$6x^2-2yz+4xz-3xy$を因数分解すると，$\text{①}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{4a}}+{\displaystyle \frac{1}{4b}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たす自然数$a\text{，}$$b$の組$(a,b)$は，$\text{②}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(3)　方程式$|x^2-3|+2x=0$の解は，$\text{③}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(4)　$x^6+x^4+x^3+x^2+x+1$を$x^2+1$で割ったときの余りは，$\text{④}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(5)　座標平面上の直線$y={\displaystyle \frac{2}{\pi }}x$は，点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},1)$を通る．不等式${\displaystyle \frac{2}{\pi }}x-\sin x>0$の解は，$\text{⑤}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(6)　$x>0\text{，}$$y>0\text{，}$$x^2+y^2=1$のとき，$2x+y$の最大値は，$\text{⑥}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(7)　$i$を虚数単位とする．複素数$z$を，複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(1+i)\text{，}$$\mathrm{C}(3+2i)$が三角形の頂点になるようにとる．三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形となるような$z$を全て求めると，$\text{⑦}$となる．

【１】　次の$$をうめよ．

(8)　方程式$9^x-12\cdot 3^x+27=0$の解は，$\text{⑧}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(9)　方程式${\log }_{2}x+{\log }_4{(x-2)}^2=3$の解は，$\text{⑨}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(10)　平面上に$10$直線があり，これらの中のどの$2$直線も平行ではなく，どの$3$直線も$1$点で交わらないとする．これら$10$直線によってできる三角形の総数は，$\text{⑩}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(11)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$で，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$とする．$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の値は，$\text{⑪}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(12)　漸化式$a_1=1\text{，}$$n{a}_{n+1}=(n+1)a_n+n(n+1)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定義された数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表すと，$\text{⑫}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(13)　関数$f(x)=\log (-{\displaystyle \frac{1}{x}})$の導関数は，$\text{⑫}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(14)　定積分${\displaystyle {\int }_e^{e^e}}{\displaystyle \frac{1}{x\log x}}\mathit{dx}$を求めると，$\text{⑭}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(15)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\cos (-x)\mathit{dx}$を求めると，$\text{⑮}$である．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$i$を虚数単位とし，$\theta$を実数とする．すべての自然数$n$について，次の等式が成り立つことを数学的帰納法によって示せ．

${(\cos \theta +i\sin \theta )}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$\sqrt{6}$が無理数であることを用いて，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$が無理数であることを示せ．