2020　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面の曲線$y=-2x^2+4\left|x\right|-2x+1$と$x$軸との共有点の$x$座標の値は$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$である．ただし$\text{ア}<\text{イ}$とする．また，曲線$y=-2x^2+4\left|x\right|-2x+1$と直線$y=mx+1$がちょうど$3$つの共有点をもつとき，定数$m$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}<m<\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$から$5$までの数字が記された白いカードがそれぞれ$1$枚ずつと，$1$から$4$までの数字が記された赤いカードがそれぞれ$1$枚ずつ，合計$9$枚のカードがある．この$9$枚のカードの中から$3$枚を同時に取り出したとき，白いカードがちょうど$1$枚だけ取り出される事象を$A$とし，$1$の数字が記されたカードが取り出される事象を$B$とし，$1$の数字が記された赤いカードが取り出される事象を$C$とする．このとき，事象$A$が起こる確率は$\text{オ}$であり，事象$A$と事象$B$が同時に起こる確率は，$\text{カ}$ある．また，事象$A$が起こったとき，事象$C$が起こる条件付き確率は，$\text{キ}$である．ただし，$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$はすべて既約分数で答えよ．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面において，連立不等式

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$3x+2y\geqq 6\text{，}$$x^2＋y^2＋2x＋2y-34\leqq 0$

が表す領域を$D$とする．

(ⅰ)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$2x+y$の最大値は$\text{ア}$であり，最小値は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+y^2-10x-10y$の最大値は，$\text{ウ}$であり，最小値は$\text{エ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　座標空間内の$5$点$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,3)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,0,5)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,-t,t^2+2)$を考える．ただし，$t$は正の実数とする．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{n}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，$\overrightarrow{n}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$の内積$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$について$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}>0$が成り立ち，$\left|\overrightarrow{n}\right|=1$であるとする．$\overrightarrow{n}$を成分表示すると$\overrightarrow{n}=\text{オ}$となる．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面上にあるとき，$t$の値は$t=\text{カ}$である．

(ⅲ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{DP}}\right|$が最小となるとき，$t$の値は$t=\text{キ}$である．

【３】　関数$f(x)=x^3-2x^2＋ax+b$（$a\text{，}$$b$は定数）は$x=-1$で極値$12$をとるとする．$xy$平面において，曲線$y=f(x\}$と$x$軸との共有点の$x$座標のうち，最も小さい値を$\alpha$とし，最も大きい値を$\beta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a\text{．}$$b$の値を求めよ．さらに関数$f(x)$の$12$以外の極値と，その極値をとる$x$の値を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$および${\alpha }^4+{\beta }^4$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和を求めよ．