2020　産業医科大学　医学部MathJax

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　実数$x$に対して，方程式${\pi }^x=e^x+\left|\right|x-2|-1|$の解の個数は$\text{ア}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　数列の極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{n^5}}$の値は$\text{イ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=5$である$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とするとき線分$\mathrm{CI}$の長さは$\text{ウ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$4\text{，}$$6\text{，}$$8$は$4=2+2\text{，}$$6=3+3\text{，}$$8=3+5$のように$2$つの正の素数の和で表される．$4$以上$50$以下の偶数で，このように$2$つの正の素数の和で表されるものの個数は$\text{エ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　媒介変数$t$を用いて$x=\cos 3t\text{，}$$y=\sin 4t$と表される座標平面上の曲線を$C$とする．$C$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}$が交わる座標平面上の点の個数は$\text{オ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(6)　$1$辺の長さが$1$の正四面体の体積は$\text{カ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(7)　座標空間において，点$\mathrm{A}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(1,2,3)$とする．線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AD}$を$3$辺とする平行六面体の体積は$\text{キ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(8)　$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$3000$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$\text{ク}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(9)　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=7$である$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径は$\text{ケ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(10)　$2$次曲線$y^2=2x^2+2x-1$の離心率は$\text{コ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(11)　関数$y=f(x)$は導関数を含む方程式（微分方程式）${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}+y=0$および$f(1)=1$を満たすとする．このとき$f(0)$の値は$\text{サ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(12)　関数$y=f(x)$は導関数を含む方程式（微分方程式）${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}=0$および$f(2)=1$を満たすとする．このとき$f(3)$の値は$\text{シ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$1$の$m$乗根$z_k$について偏角$\text{（}\geqq 0\text{）}$の小さいものから順に$k=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$m-1$とする．複素数平面上の$w_0=1$を基点${\mathrm{P}}_0$として，幾つかのルールに従って順に複素数平面上を$w_1\text{，}$$w_2\text{，}$$w_3\text{，}\cdots$と動かしていき，それらの示す点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$で図形を描いていくという遊びを行う．

【ルール１】$m=6$の時，$n$回サイコロを振って，サイコロの目が$a$$\text{（}a=1\text{，}\cdots \text{，}$$6\text{）}$である時，$w_n=a{z}_{a-1}{w}_{n-1}$となる場合を考える．その時，$n$回目の試行が終わった時点で$\left|w_n\right|=15$である確率は，$n$を用いて表すと$\text{ス}$で表され，$n$回目の試行で点$w_{n-1}$と$w_n$を結んだ線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$が，はじめて虚軸と交わる確率は，$n$を用いて表すと$\text{セ}$となる．また，$n$回目の試行で，点$w_{n-1}$と$w_n$を結んだ線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の長さが$5\sqrt{31}$となる確率は$\text{ソ}$である．

【ルール２】$m=8$の時を考えるが，今度はサイコロを使わず順に$w_n=\sqrt{2}{z}_1{w}_{n-1}-1$と移る事にする．この時，$w_n=\text{タ}$で表され，${\mathrm{P}}_n$から${\mathrm{P}}_{n+4}$までの連続する$5$点で結んだ不等辺五角形の面積は$n$を用いて$\text{チ}$となる．

【ルール３】$m=20$の時，コインを投げて表が出れば$a=3\text{，}$裏が出れば$a=1$として，$w_n=h_a{z}_a{w}_{n-1}$$(h_1=\sqrt{5}\text{，}{h}_3={\displaystyle \frac{1}{5}})$となる試行を行う．今，$n$回目で運よく原点周りをちょうど$1$周して再び基点${\mathrm{P}}_0$に戻ってきたとして，この多角形を$T$と呼ぶことにする．実数で$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{10}}=\text{ツ}$と表現できる事を用いると，整数$t$$\text{（}t=0\text{，}$$\pm 1\text{，}$$\pm 2\text{，}\cdots \text{）}$に対して原点周りに${\displaystyle \frac{\pi t}{2}}$だけ回転させても（重なって）同一な$T$のうち，最大面積となる$T$の面積は$\text{テ}$である．

【ルール４】ある$m$$\text{（}m\geqq 4\text{）}$の場合を考える．コインを投げて表が出れば$a=2\text{，}$裏が出れば$a=1$として，$n$回目の試行で$w_n=z_a{w}_{n-1}$と進めていく時，原点周りをちょうど$1$周して再び基点${\mathrm{P}}_0$に戻る確率は，$m$を用いて表すと$\text{ト}$となる．