2020　防衛医科大学校　医学科択一式MathJax

【１】　$2$人で対戦して勝敗を決める試合がある．この試合では，毎回勝敗が決まり，引き分けはないものとする．ここで，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人について，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に勝つ確率の${\displaystyle \frac{1}{3}}$倍，$\mathrm{A}$が$\mathrm{C}$に勝つ確率は$\mathrm{C}$が$\mathrm{A}$に勝つ確率の${\displaystyle \frac{1}{3}}$倍，$\mathrm{B}$が$\mathrm{C}$に勝つ確率と$\mathrm{C}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は等しいものとする．このとき，以下の問に答えよ．

$\text{１}$　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人がこの試合を繰り返し行う．どちらかが先に$4$勝すれば繰り返しが終わるとしたとき，$6$試合以内に終わる確率はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{887}{1024}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{889}{1024}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{891}{1024}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{893}{1024}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{２}$　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人でトーナメント形式の大会を行う．まず，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が試合を繰り返し，先に$2$勝した方が$1$回戦の勝者となる．次に，$1$回戦の勝者と$\mathrm{A}$が試合を繰り返し，先に$3$勝した方がトーナメントの勝者となる．$\mathrm{A}$がトーナメントの勝者となる確率はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{33}{512}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{43}{512}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{53}{512}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{63}{512}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【２】　$\mathrm{AB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AD}=1+\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{CD}=2\text{，}$$\mathrm{\angle BCD}=105\mathrm{°}$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$がある．このとき，以下の問に答えよ．

$\text{３}$　$\mathrm{BD}$はいくらか．

$\text{(1)}1$$\text{(2)}\sqrt{3}$$\text{(3)}1+\sqrt{3}$$\text{(4)}2\sqrt{3}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{４}$　$\mathrm{AC}$はいくらか．

$\text{(1)}\sqrt{3}$$\text{(2)}2$$\text{(3)}\sqrt{5}$$\text{(4)}\sqrt{6}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【３】　自然数$l\text{，}$$m\text{，}$$n$について，以下の$2$式がある．

(ⅰ)　$3l+5m=170$

(ⅱ)　$23l-11n=1$

　このとき，以下の問に答えよ．

$\text{５}$　(ⅰ)式を満たすすべての$l$を大きい順に並べたとき，中央にくる値はいくらか．

$\text{(1)}20$$\text{(2)}25$$\text{(3)}30$$\text{(4)}35$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{６}$　(ⅰ)式と(ⅱ)式を同時に満たす$l$のうち，最小のものはいくらか．

$\text{(1)}30$$\text{(2)}35$$\text{(3)}40$$\text{(4)}45$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【４】　方程式$10x^2-(6+5\sqrt{3})x+3\sqrt{3}=0$の異なる$2$解が$\sin (\theta -k)$と$\sin (\theta +k)\text{，}$方程式$10x^2-13x+a=0$の異なる$2$解が$\cos (\theta -k)$と$\cos (\theta +k)$と表すことができるものとする．ただし，$a\text{，}$$k\text{，}$$\theta$は定数であり，$0\leqq \theta -k<\theta +k\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

$\text{７}$　$a$はいくらか．

$\text{(1)}1$$\text{(2)}2$$\text{(3)}3$$\text{(4)}4$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{８}$　${\cos }^{2}k$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{8+3\sqrt{3}}{20}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{10+3\sqrt{3}}{20}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{12+3\sqrt{3}}{20}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{14+3\sqrt{3}}{20}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【５】　実数$x\text{，}$$y$について，$x\geqq 4\text{，}$$y\geqq 8\text{，}$$x^4{2}^y={16}^6$が成り立つとき，$y$が取り得る範囲は$8\leqq y\leqq \alpha \text{，}$${\log }_{2}x$が取り得る範囲は$2\leqq {\log }_{2}x\leqq \beta \text{，}$$(y+6){({\log }_{2}x)}^2-72{\log }_{2}x$の最大値は$\gamma \text{，}$最小値は$\delta$である．このとき，以下の問に答えよ．

$\text{９}$　$\alpha +\beta$はいくらか．

$\text{(1)}20$$\text{(2)}21$$\text{(3)}22$$\text{(4)}23$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{10}$　$\gamma$はいくらか．

$\text{(1)}-52$$\text{(2)}-54$$\text{(3)}-56$$\text{(4)}-58$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{11}$　$\delta$はいくらか．

$\text{(1)}-64$$\text{(2)}-60$$\text{(3)}-56$$\text{(4)}-52$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【６】　以下の問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

$\text{12}$　複素数平面上で複素数$2+i$を原点を中心に$-{\theta }_0$$(0\leqq {\theta }_0\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$だけ回転した点を$a+bi$とする．$a={\displaystyle \frac{2+2\sqrt{2}}{3}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{1-4\sqrt{2}}{3}}$のとき，$\tan {\theta }_0$はいくらか．

$\text{(1)}\sqrt{2}$$\text{(2)}2\sqrt{2}$$\text{(3)}3\sqrt{2}$$\text{(4)}4\sqrt{2}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{13}$　方程式${\displaystyle \frac{x^2}{6}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1$で表される座標平面上の楕円$C$を，原点を中心に$-{\theta }_0$だけ回転した曲線の方程式が$\alpha x^2+\beta y^2+\gamma xy=1$であるとする．ここで，${\theta }_0$は$\text{12}$で求めたものである．このとき，$\gamma$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{27}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{27}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{27}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{27}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【７】　以下の極限を求めよ．ただし，$x$は実数，$\left[x\right]$は$x$を超えない最大の整数である．

$\text{14}$　$\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{2}x+\sqrt{2x^2-8x+7)}$

$\text{(1)}1$$\text{(2)}2$$\text{(3)}3$$\text{(4)}4$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【７】　以下の極限を求めよ．ただし，$x$は実数，$\left[x\right]$は$x$を超えない最大の整数である．

$\text{15}$　$\underset{x\to \infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2-\left[{\displaystyle \frac{x}{2}}\right]})$

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(4)}2$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．