2020　防衛医科大学校　医学科記述式MathJax

【１】　以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　自然数$n$に対し，$\sqrt{n^2+10n}$の整数部分を$a(n)$とする．すべての自然数$n$に対して，$a(n)-n$が取り得る値の集合を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の要素のうち，$2$番目に大きい値を$b$とすると，$n$は$\alpha \leqq n\leqq \beta$の範囲でのみ$a(n)-n=b$を満たす．このような自然数$\alpha \text{，}$$\beta$はいくらか．

【１】　以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(2)　$a_1=1\text{，}$$a_2=e\text{，}$$a_{n+2}^3=a_{n+1}^2{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(3)　$\mathrm{O}$を中心とする円に$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=120\mathrm{°}$の$\mathrm{▵ABC}$が内接しているとする．また，直線$\mathrm{BO}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{AD}$はいくらか．

【１】　以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(4)　座標平面上に曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{5}{1+5e^{-1-x}}}$がある．$C$の変曲点の$y$座標を$k$とする．曲線$C\text{，}$$y$軸，直線$y=k-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$直線$y=k+{\displaystyle \frac{1}{2}}$で囲まれる部分の面積はいくらか．

【２】　$3$次関数$f(x)=x^3-ax$$\text{（}a$は定数）について，以下の問に答えよ．

(1)　座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$が点$(3,a)$を通る接線をちょうど$2$本もつような$a$を求めよ．

(2)　曲線$C$上の異なる$2$点$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$それぞれにおける$C$の接線がどちらも直線$\mathrm{ST}$に直交するとする．このような$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$が存在する$a$の範囲を求めよ．

(3)　曲線$C$と曲線$y={(x-2)}^3-ax+2a$の両方に接する直線がちょうど$4$本あるとき，それらの直線をすべて求めよ．

【３】　複素数$u\text{，}$$v_m$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{），}$$w_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$と関数$f(z)={\displaystyle \frac{2z+4}{z+1}}\text{，}$$g(z)={\displaystyle \frac{z-3}{-z+2}}\text{，}$$h(z)={\displaystyle \frac{2z-8}{-z+2}}$がある．また，歪みがないコインを独立に$4$回投げ，$w_n$を以下のように定める．

$w_n=\{\begin{array}{cc}g(v_n)& \text{（}n\text{回目のコイン投げの結果が表）}\\ h(v_n)& \text{（}n\text{回目のコイン投げの結果が裏）}\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{），}$

ただし，$v_m$は

$v_m=\{\begin{array}{ll}f(u)& \text{（}m=1\text{）}\\ f(w_{m-1})& \text{（}m=2\text{，}3\text{，}4\text{）}\end{array}$

と定める．$u$が等式$\left|u\right|=1$を満たしながら複素数平面上を動くものとして，以下の問に答えよ．

(1)　複素数平面上で$v_1$が描く図形を求めよ．

(2)　複素数平面上で$g(f(u))$は円を描くが，その中心の点と半径を求めよ．

(3)　複素数平面上で$w_4$が描く円の中心の点の実部を$x_4\text{，}$半径を$r_4$とする．$r_4={\displaystyle \frac{1}{4}}$であったときの，$x_4\leqq -1$となる条件付き確率はいくらか．