2020　国立看護大学校　入学選抜試験MathJax

【１】(1)　$x={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}-5}{2}}$を満たす実数$x$について，

$x^2+5x=\text{ア}\text{，}$${\displaystyle \frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{x}}{\sqrt{5+x}+\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{イ}}}{\text{ウ}}}$

である．

【１】(2)　$x$についての$2$つの不等式

$x^2+5x>0\text{，}$$a{x}^2-ax-2a-4<0$

を同時に満たす$x$が存在するような定数$a$の値の範囲は

$a<\text{エオ}$または$\text{カキ}<a$

である．

【１】(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の文字が$1$つずつ書かれたボールが各文字につき$3$個ずつある．これら$15$個のボールの中から$3$個をとり出す．とり出された$3$個の中に文字$\mathrm{A}$が書かれたボールが含まれるとり出し方は，全部で$\text{クケ}$通りある．ただし，同じ文字が書かれたボールは区別しない．

【１】(4)　ある$5$日間の気温が

$24.0\text{，}$$27.0\text{，}$$x\text{，}$$y\text{，}$$z$[単位は$\mathrm{°C}$]

であり，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の平均が$28.0\text{，}$分散が$6.0$であった．このとき，この$5$日間の気温の平均は$\text{コサ}.\text{シ}\text{，}$分散は$\text{ス}.\text{セ}$である．

　なお，計算結果は必要に応じ四捨五入し，小数第$1$位まで求めよ．

【２】　$2$次関数$f(x)=-x^2-4x+5$について，$xy$平面上における$y=f(x)$のグラフを$C$とする．

(1)　グラフ$C$は$2$点$(\text{アイ},0)\text{，}$$(\text{ウ},0)$で$x$軸と交わる．また，グラフ$C$を$x$軸方向に$\text{エ}$だけ平行移動すると，$y$軸を対称軸とする放物線$D$となる．放物線$D$をグラフとする$2$次関数を$g(x)$とするとき，

$g(x)=-x^2+\text{オ}$

である．

(2)　正の定数$k$に対して，直線$y=k$とグラフ$C$が異なる$2$点で交わるとき，その交点を$x$座標が小さいものから順に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{S}$とし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{S}$から$x$軸におろした垂線と$x$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{PS}=2t$とするとき長方形$\mathrm{PQRS}$の$4$辺の長さの和を$L$とすると，

$L=\text{カキ}{t}^2+\text{ク}t+\text{ケコ}$

である．

(3)　(2)の$L$について，$L$のとり得る値の範囲は

$\text{サシ}<L\leqq \text{スセ}$

であり，$L=\text{スセ}$となる$t$の値は$\text{ソ}$である．

【３】　一辺の長さが$6$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$をとり，線分$\mathrm{EF}$で折り返すと，辺$\mathrm{BC}$上の$\mathrm{BD}=2$を満たす点$\mathrm{D}$と頂点$\mathrm{A}$が一致する．

(1)　$\mathrm{AD}=\text{ア}\sqrt{\text{イ}}$である．

(2)　$\mathrm{ED}=x\text{，}$$\mathrm{FD}=y$とおくと，$\mathrm{EB}=\text{ウ}-x\text{，}$$\mathrm{FC}=\text{エ}-y$であるから，$\mathrm{ED}={\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}}\text{，}$$\mathrm{FD}={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{DEF}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{コサ}\sqrt{\text{シ}}}{\text{スセ}}}$である．また，$\mathrm{EF}={\displaystyle \frac{\text{ソ}\sqrt{\text{タチ}}}{\text{ツテ}}}$である．

【４】　袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個と白玉$2$個の計$4$個の玉が入っており，袋$\mathrm{B}$には赤玉$2$個と白玉$2$個，青玉$2$個の計$6$個の玉が入っている．

(1)　袋$\mathrm{A}$の玉すべてを円形に並べるとき，赤玉と白玉が交互に並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(2)　袋$\mathrm{B}$の玉すべてを円形に並べるとき，同じ色の玉が隣り合わない確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エオ}}}$である．

(3)　袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$のいずれかを選び，選んだ袋の中のすべての玉を横$1$列に並べたら，両端とも赤玉でなかった．この条件の下で，並べたのが袋$\mathrm{B}$の玉である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{カキ}}{\text{クケ}}}$である．ただし，いずれの袋を選ぶかは同様に確からしいとする．

【５】　$N$を自然数とする．

(1)　$N$を$4$進法で表しても$5$進法で表しても$4$桁となるとき，$N$のとり得る値の範囲を$10$進法で表すと，$\text{アイウ}\leqq N\leqq \text{エオカ}$である．

(2)　$N$を$3$進法と$5$進法で表すと，どちらも$2$桁で，各位の数の並びがちょうど逆になる．このとき，$N$を$10$進法で表すと，$N=\text{キ}$である．

(3)　$N$と$4N$は$10$進法で表すと，どちらも$4$桁で，数の並びがちょうど逆になる．$a\text{，}$$d$を$9$以下の正の整数，$b\text{，}$$c$を$9$以下の負でない整数とし，

$N=a\cdot {10}^3+b\cdot {10}^2+c\cdot 10+d$

とおくと，$a=\text{ク}\text{，}$$b=\text{ケ}\text{，}$$c=\text{コ}\text{，}$$d=\text{サ}$である．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=6$である．頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$からそれぞれの対辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$におろした垂線を$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BE}\text{，}$$\mathrm{CF}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．

　また，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=1:3$である．

(1)　$\mathrm{\angle ABC}=\text{アイ}\mathrm{°}$であるから，

$\mathrm{BD}=\text{ウ}\text{，}$$\mathrm{AD}=\text{エ}\sqrt{\text{オ}}$

である．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}}=\text{カ}$であるから，

$\mathrm{CE}={\displaystyle \frac{\text{キク}\sqrt{\text{ケ}}}{\text{コ}}}\text{，}$$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\text{サ}\sqrt{\text{シス}}}{\text{セ}}}$

である．

(3)　$\mathrm{BH}={\displaystyle \frac{\text{ソ}\sqrt{\text{タチ}}}{\text{ツ}}}$

である．