2020　職業能力開発総合大学校　一般MathJax

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(1)　　方程式$\sqrt{{(x-2)}^2}=3x+5$ の解は，$x=\text{(イ)}$ である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(2)　次の$3$つの式を簡単にすると，

${\sqrt[3]{{0.216}^4}}^{-\frac{1}{2}}=\text{(ロ)}\text{，}$${(20{\log }_{10}100)}^{-1}=\text{(ハ)}\text{，}$${16}^{4-{\log }_{2}12}=\text{(ニ)}\text{．}$

ただし，これらの式の値を整数$m$と$0$でない整数$n$を用いて分数${\displaystyle \frac{m}{n}}$の形に表しなさい．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(3)　整式$x^3-2x^2-45x-40$を整式$x-8$で割ると商が$x^2+\text{(ホ)}x+\text{(ヘ)}\text{，}$余りが$\text{(ト)}$である．

　$g(x)={\displaystyle \frac{x^3-2x^2-45x-40}{x-8}}$とすると，$g(2020)$の小数部分は$\text{(チ)}$である．ただし，実数$a$の小数部分は，$a$を越えない最大の整数を$n$としたときの$a-n$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(4)　関数$f(\theta )={\sin }^2\theta -2\cos 35\mathrm{°}\sin \theta$$-{\sin }^{2}35\mathrm{°}+2\cos 45\mathrm{°}$$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 360\mathrm{°}\text{）}$は，$\theta =\text{(リ)}\mathrm{°}$または$\text{(ヌ)}\mathrm{°}$で最小値$\text{(ル)}$をとり，$\theta =\text{(ヲ)}\mathrm{°}$で最大値をとる．ただし，$\text{(リ)}$と$\text{(ヌ)}$の解答の順序は問わない．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(5)　$z=3+3\sqrt{3}i$とする．複素数$w$の絶対値が$2$で偏角が${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$である．このとき，複素数$zw$の絶対値は$\text{(ワ)}$であり，偏角は$\text{(カ)}\pi$である．複素数$\bar{z}\bar{w}$の偏角は$\text{(ヨ)}\pi$である．ただし，$0\leqq \text{(カ)}\pi <2\pi \text{，}$$0\leqq \text{(ヨ)}\pi <2\pi$とする．また，複素数${\displaystyle \frac{z^3{w}^3}{\bar{z}\bar{w}}}$の実部は$\text{(タ)}$であり，虚部は$\text{(レ)}$である．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(1)　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=1$と$x=-3$で極値をとり，$f(-1)=0$を満たす．

　このとき，$a=\text{(イ)}\text{，}$$b=\text{(ロ)}\text{，}$$c=\text{(ハ)}$ であり，関数$f(x)$は$x=\text{(ニ)}$で極大値$\text{(ホ)}$をとり，$x=\text{(へ)}$で極小値$\text{(ト)}$をとる．また，$3$次方程式$f(x)=0$の解で，$x=-1$以外のものは，$x=\text{(チ)}\text{，}$$\text{(リ)}$である．ただし，$\text{(チ)}\text{，}$$\text{(リ)}$の解答の順序は問わない．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(2)　$4$点$\mathrm{A}$$(7,1,-4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,0,7)\text{，}$$\mathrm{D}$$(3,-2,6)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\text{(ヌ)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\text{(ル)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\text{(ヲ)}$となる．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\text{(ワ)}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right|=\text{(カ)}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|=\text{(ヨ)}$である．よって，$\mathrm{▵BCD}$の面積は$\text{(タ)}$であり，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\text{(レ)}$である．

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(1)　集合$S=\{n|n\text{は}30\text{の正の約数}\}$を，要素を書き並べて表しなさい．

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$つのチームが繰り返し試合を行う．$\mathrm{B}$が$1$試合勝つ前に，$\mathrm{A}$が$2$試合連続して勝った場合，$\mathrm{A}$の優勝とし，$\mathrm{A}$が$2$試合連続して勝つ前に，$\mathrm{B}$が$1$試合勝った場合，$\mathrm{B}$の優勝とする．ただし，$1$試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率は$p$であり，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$1-p$であり，$0<p<1$とする．$\mathrm{A}$が優勝する確率が，$\mathrm{B}$が優勝する確率よりも大きいとき，$p$のとり得る値の範囲を求めなさい．

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記しなさい．

(3)　関数$f(x)=1-e^{-cx}$に対して，以下の$\text{①}$$\text{②}$に答えなさい．ただし，$c$は正の定数である．

$\text{①}$　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の傾きを求めなさい．ただし，$a$は正の定数である．

$\text{②}$　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線と直線$y=1$の共有点の$x$座標を$b$とする．このとき，$b-a$を求めなさい．

【４】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記しなさい．

(1)　次の式が成り立つとき，$A^2$と$\tan \theta$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．ただし，$a\ne 0$とする．

$\{\begin{array}{l}a=A{\displaystyle {\int }_0^1}\sin (2\pi t+\theta )\sin (2\pi t)\mathit{dt}\\ b=A{\displaystyle {\int }_0^1}\sin (2\pi t+\theta )\cos (2\pi t)\mathit{dt}\end{array}$

(2)　次の式が成り立つとき，$x$と$y$を求めなさい．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

$\{\begin{array}{l}\sqrt{3}=x{\displaystyle {\int }_0^1}\sin (2\pi t+y)\sin (2\pi t)\mathit{dt}\\ 1=x{\displaystyle {\int }_0^1}\sin (2\pi t+y)\cos (2\pi t)\mathit{dt}\end{array}$