2020　防衛大学校　一般MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$x$の$2$次関数$y=x^2+mx+m^2-9$の最小値が負の値となるような整数$m$の個数は次のどれか．

$\text{ⓐ }3$$\text{ⓑ }4$$\text{ⓒ }5$$\text{ⓓ }6$$\text{ⓔ }7$$\text{ⓕ }8$$\text{ⓖ }9$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(2)　座標平面上で，連立不等式

$\{\begin{array}{l}4\leqq {(x+y)}^2\leqq 9\\ 4\leqq {(x-y)}^2\leqq 9\end{array}$

の表す領域の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ }1$$\text{ⓑ }2$$\text{ⓒ }4$$\text{ⓓ }10$$\text{ⓔ }\sqrt{2}$$\text{ⓕ }2\sqrt{2}$$\text{ⓖ }4\sqrt{2}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(3)　${(1+x+x^2)}^8$の展開式における$x^{11}$の項の係数は次のどれか．

$\text{ⓐ }165$$\text{ⓑ }224$$\text{ⓒ }266$$\text{ⓓ }336$$\text{ⓔ }448$$\text{ⓕ }504$$\text{ⓖ }784$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(4)　式$\sin \theta +\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{24}})$を$r\sin (\theta +\alpha )$の形に表すとき，$r$の値は次のどれか．ただし，$r>0\text{，}$$0\leqq \alpha <2\pi$とする．

$\text{ⓐ }\sqrt{2}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{48}}$$\text{ⓑ }\sqrt{2}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{24}}$$\text{ⓒ }\sqrt{2}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{48}}$$\text{ⓓ }\sqrt{2}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{24}}$$\text{ⓔ }2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{48}}$$\text{ⓕ }2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{48}}$$\text{ⓖ }2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{24}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(5)　複素数${\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}}\right)}^{15}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }64\sqrt{2}+64\sqrt{6}i$$\text{ⓑ }64\sqrt{6}+64\sqrt{2}i$$\text{ⓒ }-64\sqrt{2}-64\sqrt{6}i$$\text{ⓓ }128\sqrt{2}$$\text{ⓔ }128+128i$$\text{ⓕ }128-128i$$\text{ⓖ }-128-128i$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{AD}=2\sqrt{2}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{4}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{5}{2}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$\cos \mathrm{\angle BAD}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{10}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{1}{7}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{5}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{5}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{7}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{10}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　$\mathrm{▵ACD}$の外接円の半径は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{4\sqrt{5}}{3}}$$\text{ⓑ }3$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{7\sqrt{5}}{5}}$$\text{ⓓ }\sqrt{10}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{16}{5}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{3}}$$\text{ⓖ }2\sqrt{3}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【３】　実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$\left[x\right]$とする．たとえば$\left[2\right]=2\text{，}$$\left[\sqrt{2}\right]=1$である．一般項が$a_n=\left[\sqrt{n}\right]$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられる数列$\{a_n\}$に対し，その初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_n=30$となる自然数$n$の個数は次のどれか．

$\text{ⓐ }58$$\text{ⓑ }59$$\text{ⓒ }60$$\text{ⓓ }61$$\text{ⓔ }62$$\text{ⓕ }63$$\text{ⓖ }64$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$S_{100}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }615$$\text{ⓑ }620$$\text{ⓒ }625$$\text{ⓓ }630$$\text{ⓔ }635$$\text{ⓕ }640$$\text{ⓖ }645$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　$S_n=173$となる$n$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }34$$\text{ⓑ }39$$\text{ⓒ }43$$\text{ⓓ }49$$\text{ⓔ }59$$\text{ⓕ }67$$\text{ⓖ }72$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【４】　$a\text{，}$$b$を定数とし，関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t^2+at+b)\mathit{dt}$が$x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$および$x=1$で極値をとるものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　定数$a$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓑ }-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{ⓒ }-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓓ }0$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　関数$f(x)$の極小値は次のどれか．

$\text{ⓐ }-1$$\text{ⓑ }-{\displaystyle \frac{11}{27}}$$\text{ⓒ }-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓓ }-{\displaystyle \frac{11}{81}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{5}{81}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{1}{9}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{5}{27}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　関数$f(x)$の極大値は次のどれか．

$\text{ⓐ }-{\displaystyle \frac{11}{27}}$$\text{ⓑ }-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓒ }-{\displaystyle \frac{11}{81}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{5}{81}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{1}{9}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{5}{27}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(4)　$m$が(2)における極小値であるとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=m$によって囲まれた部分の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{2}{9}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{25}{72}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{3}{8}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{32}{81}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{4}{9}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【５】　曲線$y=e^{2x}$を$C_1$とし，曲線$y=4e^x$を$C_2$とする．曲線$C_1$上の点$(t,e^{2t})$における$C_1$の接線を$l$とする．このとき，次の問に答えよ．ただし，以下において$\log s$は$s$の自然対数である．

(1)　$4e^x\geqq e^{2x}$であるための必要十分条件は次のどれか．

$\text{ⓐ }x\geqq 0$$\text{ⓑ }x\leqq 0$$\text{ⓒ }x\geqq \log 2$$\text{ⓓ }x\leqq \log 2$$\text{ⓔ }x\geqq 2\log 2$$\text{ⓕ }x\leqq 2\log 2$$\text{ⓖ }0\leqq x\leqq \log 2$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　直線$l$の$y$切片は次のどれか．

$\text{ⓐ }(1+{\displaystyle \frac{t}{2}})e^{2t}$$\text{ⓑ }(1-{\displaystyle \frac{t}{2}})e^{2t}$$\text{ⓒ }(1+t)e^{2t}$$\text{ⓓ }(1-t)e^{2t}$$\text{ⓔ }(1+2t)e^{2t}$$\text{ⓕ }(1-2t)e^{2t}$$\text{ⓖ }t{e}^{2t}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　直線$l$が，曲線$C_2$上のある点における$C_2$の接線にもなっているとき，$t$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{1}{2}}+\log 2$$\text{ⓑ }1+\log 2$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{3}{2}}+\log 2$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{1}{2}}+2\log 2$$\text{ⓔ }1+2\log 2$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{3}{2}}+2\log 2$$\text{ⓖ }2\log 2$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(4)　$t$が(3)における値であるとき，$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$および直線$l$で囲まれた部分の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ }e-2$$\text{ⓑ }2e-5$$\text{ⓒ }3e-8$$\text{ⓓ }6e-7$$\text{ⓔ }\log 2$$\text{ⓕ }{(\log 2)}^2$$\text{ⓖ }e-8+8e{(\log 2)}^2$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【４】　$a\text{，}$$b$を定数とし，関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t^2+at+b)\mathit{dt}$が$x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$および$x=1$で極値をとるものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　定数$a$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓑ }-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{ⓒ }-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓓ }0$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　関数$f(x)$の極小値は次のどれか．

$\text{ⓐ }-1$$\text{ⓑ }-{\displaystyle \frac{11}{27}}$$\text{ⓒ }-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓓ }-{\displaystyle \frac{11}{81}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{5}{81}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{1}{9}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{5}{27}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　関数$f(x)$の極大値は次のどれか．

$\text{ⓐ }-{\displaystyle \frac{11}{27}}$$\text{ⓑ }-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓒ }-{\displaystyle \frac{11}{81}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{5}{81}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{1}{9}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{5}{27}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$