2020　航空保安大学校　学科問題MathJax

【１】　次の式の値はいくらか．

${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}\right)}^2$

$\text{1．}1$$\text{2．}3$$\text{3．}5$$\text{4．}7$$\text{5．}9$

【２】　ある商品は，$1$個当たり$70$円で販売すると$500$個売れるが，$1$円値上げするごとに販売個数が$10$個ずつ減少し，$1$円値下げするごとに販売個数が$10$個ずつ増加するとする．

　この商品の$1$個当たりの必要経費を$40$円とするとき，利益（売り上げから必要経費を除いた額）を最大にする商品$1$個当たりの値段はいくらか．

$\text{1．}60\text{円}$$\text{2．}70\text{円}$$\text{3．}80\text{円}$$\text{4．}90\text{円}$$\text{5．}100\text{円}$

【３】　図のような$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=2\text{，}$$\mathrm{AE}=1$である直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，点$\mathrm{A}$から$\mathrm{▵BDE}$に下ろした垂線の長さはいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$\text{3．}1$$\text{4．}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$$\text{5．}\sqrt{2}$

【４】　さいころを$2$回投げて，$1$回目に出た目を$a\text{，}$$2$回目に出た目を$b$とする．このとき，$x$の$2$次方程式$x^2+2(a+b)x+4(ab+1)=0$が実数解をもつ確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{7}{18}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{4}{9}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{5}{9}}$

【５】　$n$を$1$以上$10000$以下の整数とするとき，${\displaystyle \frac{\sqrt{375n}}{12}}$が整数となるような$n$はいくつあるか．

$\text{1．}2\text{個}$$\text{2．}4\text{個}$$\text{3．}6\text{個}$$\text{4．}8\text{個}$$\text{5．}10\text{個}$

【６】　図のような$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=4$である$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{\angle B}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{I}$とする．このとき，$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$として正しいのはどれか．

$\text{1．}2:1$$\text{2．}3:1$$\text{3．}3:2$$\text{4．}4:3$$\text{5．}5:4$

【７】　$x^8$を$(x-2)(x+1)$で割った商を$Q(x)\text{，}$余りを$ax+b$$\text{（}a\text{，}$$b$は定数）とすると，

$x^8=(x-2)(x+1)Q(x)+ax+b$

が成り立つ．このとき，$a\text{，}$$b$の値の組合せとして正しいのはどれか．

【８】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(5,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,-2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,2)$を通る円の半径はいくらか．

$\text{1．}2$$\text{2．}\sqrt{5}$$\text{3．}2\sqrt{2}$$\text{4．}3$$\text{5．}\sqrt{10}$

【９】　$\sin {\displaystyle \frac{100}{3}}\pi$及び$\tan (-{\displaystyle \frac{100}{3}}\pi )$の値の組合せとして正しいのはどれか．

【10】　点$(0,-16)$から曲線$y=x^3-3x$に引いた接線の方程式として正しいのはどれか．

$\text{1．}y=-8x-16$$\text{2．}y=-7x-16$$\text{3．}y=7x-16$$\text{4．}y=8x-16$$\text{5．}y=9x-16$

【11】　次の連立不等式の表す領域の面積はいくらか．

$\{\begin{array}{l}y\leqq x+4\\ y\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1\\ y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\end{array}$

なお，必要ならば任意の実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

が成り立つことを用いてよい．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{27}{2}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{63}{4}}$$\text{3．}18$$\text{4．}27$$\text{5．}{\displaystyle \frac{63}{2}}$

【12】　等差数列$\{a_n\}$は，$a_1=101\text{，}$$a_1-a_{10}=30$を満たしているとする．このとき，初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和が最大になる$n$の値はいくらか．

$\text{1．}30$$\text{2．}31$$\text{3．}32$$\text{4．}33$$\text{5．}34$

【13】　図のような$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=120\mathrm{°}$である$\mathrm{▵OAB}$において，次の式を満たす点$\mathrm{P}$の存在範囲の面積はいくらか．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$1\leqq s+t\leqq 3\text{，}$$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0$

$\text{1．}2\sqrt{3}$$\text{2．}4$$\text{3．}3\sqrt{3}$$\text{4．}4\sqrt{3}$$\text{5．}8$