2020　海上保安大学校　記述問題MathJax

【１】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=x^2$と曲線上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$$\text{（}t$は実数）及び点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5}{4}})$について，以下の設問に答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$間の距離を$d$とするとき，$d$を$t$を用いて表せ．

(2)　$d$が最小となるとき，$t$の値を求めよ．

(3)　$t$が(2)で求めた値のとき，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と直線$\mathrm{AP}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】　$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=1+\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である$\mathrm{▵ABC}$について，以下の設問に答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle B}$の大きさを求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円と内接円の半径をそれぞれ求めよ．

(3)　点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{CH}:\mathrm{HD}$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．$x$の$2$次方程式$x^2-2bx-a^2+1=0$について，以下の設問に答えよ．

(1)　$a=b$とする．一つの解が$1$より大きく，もう一つの解が$1$より小さくなるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$ の範囲に二つの実数解（重解を含む．）をもつための定数$a\text{，}$$b$の条件を求め，点$(a,b)$の存在する領域を座標平面上に図示せよ．

(3)　(2)で求めた領域の面積を求めよ．