2021　北海道大学　前期MathJax

【１】　初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+7)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で表される数列$\{a_n\}$がある．

(1)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{D}$と対称な点を$\mathrm{E}\text{，}$点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=4\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=6$を満たすとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$9\left|\overrightarrow{\mathrm{OE}}\right|=20\left|\overrightarrow{\mathrm{OF}}\right|$となるとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$の値を求めよ．

【３】　実数$x$に対して，

$f(x)=\sqrt{3}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$$+2{\sin }^2(x+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$$+4\cos (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

とおく．

(1)　$t=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$とおく．${\sin }^2(x+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$と$\cos (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

【４】　$k$を$k-1$を満たす実数とする．直線$l\text{：}y=(1-k)x+k$および放物線$C\text{：}y=x^2$を考える．$C$と$l$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$と$l$と直線$x=2$の$3$つで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1$を$k$を用いて表せ．

(2)　$S_2$を$k$を用いて表せ．

(3)　$k$が$k>-1$を満たしながら動くとき，$S_2-S_1$の最大値を求めよ．

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{D}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=4\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=6$を満たすとする．

(1)　点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{BDE}$の面積が${\displaystyle \frac{5}{9}}$になるとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$の値を求めよ．

【２】　$a$を$a\ne -3$を満たす定数とする．放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上の点$\mathrm{A}$$(-1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{B}$$(a+2,{\displaystyle \frac{{(a+2)}^2}{2}})$における接線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{C}$とおく．

(1)　$\mathrm{C}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$が$a>0$を満たしながら動くとき，${\displaystyle \frac{\left|\mathrm{AB}\right|}{\left|\mathrm{BC}\right|}}$が最小となるときの$a$の値を求めよ．ただし，$\left|\mathrm{AB}\right|$および$\left|\mathrm{BC}\right|$はそれぞれ線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{BC}$の長さを表す．

【３】　正の実数$x\text{，}$$y$が，方程式

${\displaystyle \frac{9^{4x}+9^{y^2+1}}{6}}=3^{4x+y^2}$$\cdots$(＊)

を満たすとする．

(1)　$y^2$を$x$を用いて表せ．

(2)　正の実数$x\text{，}$$y$が(＊)および$1-{\displaystyle \frac{x}{y}}>0$を満たしながら動くとき，

${\displaystyle \frac{1}{{\log }_{1+\frac{x}{y}}4}}+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{1-\frac{x}{y}}4}}$

の最大値を求めよ．

【４】　$a_1=2\text{，}$$b_1=1$および

$a_{n+1}=2a_n+3b_n\text{，}$$b_{n+1}=a_n+2b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められた数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．$c_n=a_n{b}_n$とおく．

(1)　$c_2$を求めよ．

(2)　$c_n$は偶数であることを示せ．

(3)　$n$が偶数のとき，$o_n$は$28$で割り切れることを示せ．

【５】　座標平面上で，媒介変数$\theta$を用いて

$x=(1+\cos \theta )\cos \theta \text{，}$$y=\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

と表される曲線$C$がある．$C$上の点で$x$座標の値が最小になる点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{A}$の$x$座標の値を$a$とおく．$\mathrm{B}$を点$(a,0)\text{，}$$\mathrm{O}$を原点$(0,0)$とする．

(1)　$a$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OB}$と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．