2021　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$0<\alpha <2\pi \text{，}$$0<\beta <2\pi$とする．$\cos \alpha =\cos \beta$ならば，$\alpha =\beta$または$\alpha +\beta =2\pi$であることを示しなさい．

(2)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$のとき，$\cos 2\alpha$と$\cos 4\alpha$の値を求めなさい．

(3)　(2)の$\alpha$の値を求めなさい．

(4)　$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\cos \beta \geqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$のとき，$\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であることを示しなさい．

【２】　$t>0\text{，}$$h>0$に対し，座標平面上に点$\mathrm{A}$$(t,0)$と点$\mathrm{B}$$(t+h,0)$をとる．関数$y=x^2$のグラフに点$\mathrm{A}$から引いた接線のうち，傾きが正であるものを$l$とし，接点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を，$t$を用いて表しなさい．

(2)　$n$を自然数とする．$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して，$t={\displaystyle \frac{k}{n}}\text{，}$$h={\displaystyle \frac{1}{n}}$とするときの$\mathrm{▵ABP}$の面積を$S_n$で表す．このとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_n$を求めなさい．

(3)　$t=1$とするとき，$y=x^2$のグラフと$x$軸および直線$l$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【３】　点$\mathrm{A}$$(0,1)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．また，$x$軸の$x\geqq 0$の部分を動く点を$\mathrm{P}$$(t,0)$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の円を$C^{\prime }$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　円$C$と円$C^{\prime }$の共有点が$2$個であるような$t$の範囲を求めなさい．

　以下の(2)，(3)では，(1)の共有点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$とする．ただし，$x$座標の大きい方を${\mathrm{Q}}_2$とする．

(2)　直線$\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_2$が円$C$と接するとき，点${\mathrm{Q}}_2$の座標を求めなさい．

(3)　線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$が円$C$の直径になるとき，$\mathrm{▵}\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$は正三角形である．このとき$3$点$\mathrm{P}\text{，}$${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$の座標を求めなさい．