2021　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　さいころを$2$回投げ，出た目を順に$m\text{，}$$n$とする．整数$m$が整数$n$で割り切れる確率は$\text{(a)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$1$辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BE}=1$を満たす点$\mathrm{E}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ADE}$の面積は$\text{(b)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$c$を実数とし，$x$に関する$2$次方程式$x^2+x+c=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．${\alpha }^3+{\beta }^3=2021$が成り立つとき，$c=\text{(c)}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が，$S_n=4n^3+6n^2-480n+500$と表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}\left|a_k\right|$を求めよ．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$m$を実数とし，$2$直線$mx-y=0\text{，}$$x+my-2m-4=0$の交点を$\mathrm{P}$とする，$m$の値にかかわらず，$\mathrm{P}$は中心$(a,b)\text{，}$半径$r$の円周上にある．このとき，$(a,b,r)=\text{(ア)}$である．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数で$c\geqq 1$とする．$x$に関する方程式$x^3+a{x}^2+bx+3=|x-c|$が$-1\text{，}$$1\text{，}$$2$を解にもつとき，$(a,b,c)=\text{(イ)}$である．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$m\text{，}$$n$は正の整数とする．${\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^m{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^n\geqq {\displaystyle \frac{1}{100}}$を満たす$(m,n)$の組は，全部で$\text{(ウ)}$個ある．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【４】　$f(x)=x^2-8x+3+4|x^2-2x|$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$a$は正の実数とする．$-\pi \leqq x\leqq \pi$のとき，$x$に関する方程式

$\sin x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}x+a$

の異なる解の個数を求めよ．