2021　帯広畜産大学　前期総合問題MathJax

【５】

問１　$1$個のさいころを投げるとき，$1$の目が出れば$\theta =0\text{，}$$2$または$3$の目が出れば$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$4$以上の目が出れば$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\sin \theta$のとり得る値をすべて求めなさい．

(2)　$\cos \theta =0$になる確率を求めなさい．

(3)　$\sin 2\theta +2\sin \theta =2$になる確率を求めなさい．

【５】

問２　第$4$項が$30$である数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n=\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{n}}}$で定義する．また，$b={\log }_{2}3\text{，}$$c={\log }_{2}5$とする．ただし，$m$は自然数である．次の問いに答えなさい．

(1)　$m\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　${\log }_2{a}_1\text{，}$${\log }_2{a}_2$をそれぞれ$b$と$c$の式で表しなさい．

(3)　不等式${\log }_2{k}_1<b<{\log }_2(k_1+2)$を満たす自然数$k_1$を求めなさい．

(4)　不等式$2({\log }_2{a}_1-{\log }_2{a}_2)+b<k_2$を満たす最小の自然数$k_2$を求めなさい．

【５】

問３　関数$f(x)=-x^2+2x\text{，}$$g(x)=|f(x)|\text{，}$$h(x)=f(x)+2$を用いて，$3$つの曲線

$C_f\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_g\text{：}y=g(x)\text{，}$$C_h\text{：}y=h(x)$

を定義する．直線$L\text{：}y=\alpha x+\beta$は点$\mathrm{A}$$(-{\displaystyle \frac{3}{2}},-3)$から曲線$C_f$に引いた接線であり，直線$L$と曲線$C_h$との共有点を$\mathrm{P}$$(p,q)$とする．また，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq \alpha x+\beta \\ y\geqq g(x)\\ $ y\leqq h(x)$\\ x\leqq 2\end{array}$

の表す領域の面積を$S$とする．ただし，$\alpha >\beta \text{，}$$p>0\text{，}$$q>0$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の導関数を求めなさい．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$の値をそれぞれ求めなさい．

(3)　$p\text{，}$$q$の値をそれぞれ求めなさい．

(4)　$S$の値を求めなさい．