2021　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　第$2$項が${\displaystyle \frac{1}{3+\sqrt{3}}}\text{，}$公比が$\sqrt{3}$の等比数列の初項から第$8$項までの和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$8^{x+1}-4^{x+\frac{3}{2}}+2^{x+1}(1-2^x)<0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$x=1+2i$が方程式$x^3-(4+2i)x^2+ax+b=0$の解の$1$つとなるような実数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$7:4$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$9:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．さらに，直線$\mathrm{OE}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\mathrm{▵BEF}$の面積が$28$であるとき，$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての整数$n$に対し，$n^4$を$5$で割ったときの余りは，$0$か$1$のいずれかであることを示せ．

(2)　$x^4+y^4+2=z^4$を満たす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は存在しないことを示せ．

【４】　$f(x)=|x^2+x-2|+2x-2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(2)　$a$を定数とし，$0<a<1$とする．放物線$y=a(x^2+3x-4)$と$y=f(x)$のグラフによって囲まれた$2$つの部分の面積が等しいとき，$a$の値を求めよ．

【５】　自然数$n$に対し，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}x\mathit{dx}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$I_1$と$I_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　自然数$n$に対し，$I_{n+2}$を$I_n$で表せ．

(3)　$\pi$を$I_8$で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,t)$と$\overrightarrow{b}=(1,{\displaystyle \frac{t}{3}})$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であるとき，$t$の値を求めよ．ただし，$t>0$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$0\leqq x<2\pi$のとき，関数$y=-\cos 2x+4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}-2$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=2a_n-3$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項と，初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to 0}{\lim }({\displaystyle \frac{x\tan x}{\sqrt{\cos 2x}-\cos x}}+{\displaystyle \frac{x}{\tan 2x}})$

【２】　定数$a$が$0<a<1$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\log }_{a}x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^2{\log }_{a}x\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　定械分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^2}|x{\log }_{a}x|a^{|{\log }_{a}x|}\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=ax{e}^{-b{x}^2}$について，定数$a\text{，}$$b$が$a>0\text{，}$$b>0$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$を表す関数$y$の極大値を求めよ．

(2)　関数$y$が座標$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$において極大値$e^{-\frac{1}{2}}$をとるとき，定数$a\text{，}$$b$を求めよ．

(3)　設問(2)で定めた曲線$C$に接する直線の傾きが最大となるときの接線$l_1$の方程式を求めよ．

(4)　設問(2)で定めた曲線$C$について，$x>0$に存在する変曲点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸に平行な直線を$l_2$とする．曲線$C$と設問(3)で定めた直線$l_1\text{，}$および$l_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$上の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$におけるそれぞれの接線$l_1\text{，}$$l_2$が交点$\mathrm{M}$で直交している．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$-1$である．また，円$C_2$は$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{M}$を通る．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの接線$l_1\text{，}$$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　円$C_2$の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$を通る接線$l_1$と直線$y=a\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$点$\mathrm{Q}$を通る接線$l_2$と直線$y=a\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，次の極限値を求めよ．ただし，$a>0$とする．

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$

(4)　線分$\mathrm{PQ}$と曲線$C_1$で囲まれた図形を，$y$軸まわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【５】　サイクロイド$C$が媒介変数$\theta$を用いて

$C\text{：}\{\begin{array}{l}x=\theta -\sin \theta \\ y=1-\cos \theta \end{array}$$\text{（}\pi \leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

と表される．直線$x=\pi$と$C\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．また，直線$x=\pi$上および$x$軸上にはない$C$上の点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とする．$l$の傾きが$-1$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　図形$D$の面積を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　直線$x=\pi$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{．}$$x=\pi$と$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{QR}$上にあり，線分$\mathrm{PS}$は$D$の面積を二等分する．このとき，$S$の座標を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人がサイコロを投げる．$\mathrm{A}$は$3$個のサイコロを$1$度に投げ，$\mathrm{B}$は$1$個のサイコロを投げる．このとき，次の問いに答えよ．ただし，サイコロはどれも$1$から$6$までの目が${\displaystyle \frac{1}{6}}$ずつの確率で出るものとする．

(1)　$\mathrm{A}$の投げた$3$個のサイコロの出た目の最小値が，$\mathrm{B}$の投げたサイコロの目よりも大きい確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$の投げた$3$個のサイコロの出た目の最大値が，$\mathrm{B}$の投げたサイコロの目よりも大きい確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$の投げた$3$個のサイコロの出た目の和が，$\mathrm{B}$の投げたサイコロの目よりも大きい確率を求めよ．