2021　東北大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とする．曲線$y=a{x}^2+bx+1$が$x$軸の正の部分と共有点をもたないような点$(a,b)$の領域を図示せよ．

【２】　正八角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_8$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$個の頂点を結んでできる三角形のうち，直角三角形であるものの個数を求めよ．

(2)　$3$個の頂点を結んでできる三角形のうち，直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求めよ．

(3)　$4$個の頂点を結んでできる四角形のうち，次の条件(＊)を満たすものの個数を求めよ．

(＊)　四角形の$4$個の頂点から$3$点を選んで直角三角形を作れる．

【３】　平面において，$2$つの点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$の間の距離が$1$であるとし，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を中心とする$2$つの円をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$において交わり，$\mathrm{\angle OPA}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとし，$C_2$の半径$r$は$r<1$を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$の半径を求めよ．

(2)　$r={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$のとき，$\mathrm{\angle PAO}$の大きさを求めよ．

(4)　$r={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$のとき，円$C_1$の内部と円$C_2$の内部との共通部分の面積を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　$3$次関数$y=x^3+x^2$のグラフと$2$次関数$y=x^2+4x+16$のグラフの共通接線（どちらのグラフにも接する直線）は$2$本ある．それらの方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$本の共通接線と$2$次関数$y=x^2+4x+16$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を$0<a<1\text{，}$$0<b<1$を満たす実数とする．平面上の三角形$\mathrm{ABC}$を考え，辺$\mathrm{AB}$を$a:1-a$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$b:1-b$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$T$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{T}{S}}$を$a\text{，}$$b$で表せ．

(2)　$a\text{，}$$b$が$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$0<b<{\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{T}{\mathrm{S}}}$がとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$p\text{，}$$q$を$3$以上の整数とし，$a={\displaystyle \frac{1}{p}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{1}{q}}$とする．${\displaystyle \frac{T}{S}}$の逆数${\displaystyle \frac{S}{T}}$が整数となるような$p\text{，}$$q$の組$(p,q)$をすべて求めよ．

【４】　座標平面において，次の条件(＊)を満たす直線$l$を考える．

(＊)　$l$の傾きは$1$で，曲線$y=x^3-2x$と異なる$3$点で交わる．

その交点を$x$座標が小さなものから順に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とし，さらに線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{S}$とする．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を$(a,a^3-2a)$とするとき，点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．

(2)　直線$l$が条件(＊)を満たしながら動くとき，点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．

(3)　直線$l$が条件(＊)を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{PS}$が動いてできる領域の面積を求めよ．

【５】　$z$を複素数とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(z^2)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が同一直線上にあるための$z$の必要十分条件を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が二等辺三角形の頂点になるような$z$全体を複素数平面上に図示せよ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が二等辺三角形の頂点であり，かつ$z$の偏角$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たすとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積の最大値とそのときの$z$の値を求めよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(1)　正の実数$a$と正の整数$n$に対して次の等式が成り立つことを示せ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

$e^a=1+a+{\displaystyle \frac{a^2}{2!}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{a^n}{n!}}$$+{\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{{(a-x)}^n}{n!}}{e}^x\mathit{dx}$

(2)　正の実数$a$と正の整数$n$に対して次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{{(a-x)}^n}{n!}}{e}^x\mathit{dx}$$\leqq {\displaystyle \frac{e^a{a}^{n+1}}{(n+1)!}}$

(3)　不等式

$|e-(1+1+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}\left)\right|$$<{10}^{-3}$

を満たす最小の正の整数$n$を求めよ．必要ならば$2<e<3$であることは証明なしに用いてもよい．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済（文系）学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　経済（理系）・理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部