2021　茨城大学　後期MathJax

2021-10161-0201

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【１】　 $t > 0$ とし，曲線 $C ： y = \sqrt{x}$ 上の点 $(t, \sqrt{t})$ における $C$ の法線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $f (t)$ とする．数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = f (1) ，$ $a_{n + 1} = f (a_{n})$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定める．以下の各問に答えよ．

(1)　 $f (t)$ を求めよ．

(2)　 $a_{n}$ を求めよ．

(3)　 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{2 k}}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ），$ $S = \lim_{n \to \infty} S_{n}$ とする．不等式

$| S_{n} - S | < \frac{1}{2021}$

を満たす自然数 $n$ の最小値を求めよ．

(4)　 $a_{n} ≦ x ≦ a_{n + 1}$ の範囲で，曲線 $C ，$ $2$ 直線 $x = a_{n} ，$ $x = a_{n + 1} ，$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $T_{n}$ とする．極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{T_{n}}{\sqrt{a_{n}}}$ を求めよ．

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【２】　 $i$ を虚数単位とする． $α = 2 ，$ $β = 4 \sqrt{3} i$ とし， $γ$ を複素数とする．複素数平面において， $3$ 点 $A (α) ，$ $B (β) ，$ $C (γ)$ を頂点とする三角形 $ABC$ を考える．以下の各問に答えよ．

(1)　 $∠ABC$ と $∠BAC$ の大きさがともに $\frac{π}{6}$ となるような $γ$ をすべて求めよ．

　以下，(1)で求めた $γ$ のうち，絶対値が最小であるものを $δ$ とし， $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $D (δ)$ を頂点とする三角形 $ABD$ を考える．ただし，複素数平面の原点を $O (0)$ とする．

(2)　 $δ$ と三角形 $ABD$ の面積 $S$ を求めよ．

(3)　点 $P (z)$ が線分 $AB$ 上を動くとき，線分の長さの和 $OP + PD$ の最小値を与える $z$ を求めよ．

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【３】　 $A ，$ $B ，$ $C$ の $3$ 人がいて，「赤」「青」「白」の玉が $1$ つずつ合計 $3$ 個入った袋がある．まず，最初に，袋の中から $A ，$ $B ，$ $C$ の順に玉を $1$ つずつ取り出す．そこで，各自が取った玉の色を $3$ 人で確認して袋に戻す．ここまでの操作を $1$ 巡目とする． $n$ 巡目は次のように行う．ただし， $n$ は $2$ 以上の自然数とし，玉の色の確認は $3$ 人で行うとする．

(ⅰ)　袋の中から $A ，$ $B ，$ $C$ の順に玉を $1$ つずつ取り出して，(ⅱ)に進む．

(ⅱ)　 $A$ が取った玉と $(n - 1)$ 巡目に $A$ が取った玉の色が同じときは， $A$ が勝ちとして終了する．それ以外の場合は，(ⅲ)に進む．

(ⅲ)　 $B$ が取った玉と $(n - 1)$ 巡目に $B$ が取った玉の色が同じときは， $B$ が勝ちとして終了する．それ以外の場合は，(ⅳ)に進む．

(ⅳ)　 $C$ が取った玉と $(n - 1)$ 巡目に $C$ が取った玉の色が同じときは， $C$ が勝ちとして終了する．それ以外の場合は， $3$ 人とも各自が取った玉を袋に戻す．ここまでの操作を $n$ 巡目とし，(ⅰ)に戻り $(n + 1)$ 巡目をはじめる．

$n$ 巡目で $A$ が勝つ確率を $a_{n} ，$ $B$ が勝つ確率を $b_{n} ，$ $C$ が勝つ確率を $c_{n}$ とする．以下の各問に答えよ．

(1)　 $a_{2} ，$ $b_{2} ，$ $c_{2}$ をそれぞれ求めよ．

(2)　 $a_{3} ，$ $b_{3} ，$ $c_{3}$ をそれぞれ求めよ．

　以下では，袋の中に「赤」「青」「白」の他に「黄」の玉が $1$ つ加えられた場合を考える．上記と同じ $1$ 巡目からの操作を行う． $n$ 巡目で $A$ が勝つ確率を $p_{n} ，$ $B$ が勝つ確率を $q_{n} ，$ $C$ が勝つ確率を $r_{n}$ とする．

(3)　 $p_{2} ，$ $q_{2} ，$ $r_{2}$ をそれぞれ求めよ．

(4)　 $n$ 巡目で誰かが勝つ確率を求めよ．

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(1)　座標平面上の曲線 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ が表す図形を $C_{1}$ とする． $C_{1}$ は $(あ)$ である． $(あ)$ にあてはまあるものを次の $① 〜$ $③$ の中から $1$ つを選んで，その番号を記入しなさい．

$①$ 　放物線
$②$ 　楕円
$③$ 　放物線

　さらに，方程式 $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 16 y - 43 = 0$ が表す図形を $C_{2}$ とする． $C_{2}$ は $C_{1}$ を $x$ 軸方向に $(い) ，$ $y$ 軸方向に $(う)$ だけ平行移動したものである．

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(2)　 $e$ は自然対数の底とする．関数 $f (x) = \frac{1}{2 x} e^{x^{2}}$ の $x = 1$ における微分係数 $f^{'} (1)$ は， $f^{'} (1) = (え)$ である．

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(3)　関数 $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ の導関数を $g^{'} (x)$ とする．方程式 $g^{'} (x) = 0$ の解をすべて求めると， $x = (お)$ である．あてはまる解をすべて，枠内に記入すること．

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(4)　 $i$ は虚数単位とし， $z = 1 + \sqrt{3} + (1 - \sqrt{3}) i$ とする． $(1 + \sqrt{3} i) z$ を計算して， $a + b i$ （ただし， $a ，$ $b$ は実数）の形で表すと $(か)$ になる．したがって， $z$ の極形式を $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ とおくと， $r = (き) ，$ $θ = (く)$ である．ただし， $- π ≦ θ < π$ とする．

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(5)　次の定積分の値を求めよ．

(ⅰ)　 $\int_{- 1}^{1} {(1 + x + x^{2})}^{2} dx = (け)$

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(5)　次の定積分の値を求めよ．

(ⅱ)　 $\int_{4}^{7} \frac{2}{(x - 3) (x - 1)} dx = (こ)$

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(6)　 $2$ 直線 $- 11 x + 2 y + 7 = 0$ と $2 x + y + 2 = 0$ のなす角を $θ$ とおくとき， $\cos θ = (さ)$ である．ただし， $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ とする．

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(7)　三角形 $ABC$ において， $\tan ∠BAC = 2 ，$ $\tan ∠ABC = 3$ とする．このとき， $\tan ∠BCA = (し)$ である．次に，頂点 $A ，$ $C$ からそれぞれ直線 $BC ，$ $AB$ に下ろした $2$ つの垂線の交点を $H$ とする．ベクトル $\vec{AH}$ を実数 $s ，$ $t$ を使って $\vec{AH} = s \vec{AB} + t \vec{AC}$ と表すとき，このような $s ，$ $t$ の組 $(s, t)$ を求めると， $(s, t) = (す)$ である．

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【１】　以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(8)　 $n$ を自然数とする．数列 ${a_{n}}$ を次のように定める．

$a_{n} = {\begin{cases} 2 n & （ n が奇数のとき） \\ 2 n - 1 & （ n が偶数のとき） \end{cases}$

数列 ${a_{n}}$ の初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項 $a_{n}$ までの和を $S_{n}$ とおく． $m$ を自然数とする． $S_{2 m}$ を $m$ の式で表すと $S_{2 m} = (せ)$ であり， $S_{2 m - 1}$ を $m$ の式で表すと $S_{2 m - 1} = (そ)$ である．

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【２】　 $H ，$ $I ，$ $T ，$ $A ，$ $C ，$ $H ，$ $I$ の $7$ 文字を横一列に並べて得られる順列を考える．以下の各問のにあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(1)　並べ方の総数は， $(た)$ 通りである．

(2)　 $C$ が $A$ より左側にある並べ方は， $(ち)$ 通りである．

(3)　 $I$ と $C$ が隣り合う並べ方は， $(つ)$ 通りである．

(4)　同じ文字が連続して並ばない並べ方は， $(て)$ 通りである．

(5)　 $2$ つの $H$ の少なくとも一方より $A$ が左側にある並べ方は， $(と)$ 通りである．

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