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2021-10162-0401
2021 筑波大学 推薦理工学群
数学類
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とする. x についての 2 次方程式
x2− 2⁢a⁢x =∫ −11 |t−a |⁢ dt
の解のうち 0 以上 1 以下であるものの個数を求めよ.
2021-10162-0402
【2】 ▵ABC において,点 A , B . C の位置ベクトルをそれぞれ a→ , b→ , c→ とする.辺 AB , BC, CA の長さをそれぞれ x . y, z とする. ▵ABC の内部の点 P に対して ▵PAB , ▵PBC, ▵PCA の面積をそれぞれ s , t, u とする.また直線 CP と辺 AB の交点を D とする.
(1) ▵PAD と ▵PDB の面積の比を t , u を用いて表せ.
(2) 点 D の位置ベクトルを t, u と a →, b→ を用いて表せ.
(3) 点 P の位置ベクトルを s , t, u と a→ , b→ , c→ を用いて表せ.
(4) ▵ABC の内心の位置ベクトルを x , y, z と a→ , b→ , c→ を用いて表せ.
2021-10162-0403
【3】 複素数平面上に ▵ABC がある,点 A , B , C を表す複素数 α , β, γ は 3 次方程式 z3 −k⁢z−1 =0 を満たすとする.ここで k は実数とする.
(1) 次が成り立つことを示せ.
{ α+β+γ =0 α⁢β+β ⁢γ+γ⁢ α=-k α⁢β⁢ γ=1
(2) ▵ABC は実細に関して対称であることを示せ.
(3) ▵ABC が正三角形であるような k の値をすべて求めよ.