2021　群馬大学　推薦理工学部小論文MathJax

【１】　次の文章を読んで，問１．２．３，４に答えよ．

　コンピュータの容量は日々増加し続けているが，有限であることに変わりがないため，無限の実数を扱うことはできない．その結果，どのようなコンピュータにも「最小の正の数」というものが存在する．しかし，数学上は「最小の正の実数」は存在しない．「最小の正の実数」が存在しないことは，背理法によって示すことができる．例えば，最小の正の実数が存在すると仮定してそれを$x$とおくと，${\displaystyle \frac{x}{2}}$も実数である．$x$が最小の正の実数であることから，${\displaystyle \frac{x}{2}}$は開区間$(0,x)$の範囲外にある．ここから矛盾を示すことで，最小の正の実数が存在しないことを証明することができる．

問１　「背理法」とは何か説明せよ．

問２　次の実数上の方程式を解け．最終結果だけでなく，途中の計算もあわせて記述すること．

${\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{x}{x+2}}={\displaystyle \frac{x+4}{x+1}}$

問３　前問を少しだけ変形した方程式

${\displaystyle \frac{x}{x-1}}+{\displaystyle \frac{2}{x+2}}={\displaystyle \frac{x+4}{x+1}}$

を次のようにして解いたところ，最後に示すような矛盾が生じてしまった．なぜ，このような矛盾が生じるのかを説明せよ．

(3)　よって，$2=8$が導かれる．

問４　コンピュータに「最小の正の数」が存在することに対し，そのようなコンピュータを 利用する上での留意点を，あなた自身の考えとして述べよ．

【２】　次の問１，２，３，４に答えよ．

問１　$1$から$20$までのそれぞれの整数について，その正の約数とその個数を以下の例を参考に表にまとめよ．

問２　整数$n$の正の約数の個数は，偶数か奇数のいずれかになる．$n$の正の約数の個数は，$n$がどのような数のときに奇数になり，どのような数のときに偶数になるだろうか．問１で作成した表を参考にして，その関係について答えよ．また，それが正しい理由を書くこと．

　今，$1$から$100$までの番号が書かれた$100$個のロッカーがある．最初はロッカーの扉はすべて閉じている．また$100$人の人がいて，それぞれ$1$番から$100$番まで番号が振られている．まず$1$番の人がすべてのロッカーの扉を開ける．続いて$2$番の人は$2$の倍数の番号のロッカーを閉める．$3$番の人は$3$の倍数の番号のロッカーをすべて見て，閉まっていれば開け，開いていれば閉じる．同様に，$k$番の人は$k$の倍数の番号のロッカーをすべて見て，閉まっていれば開け，開いていれば閉じる．どの人も開けたり閉めたりするロッカー以外は触れないとする．

問３　$1$番から$20$番までの人が順に上記の操作を終えたとき，$12$番のロッカーに触れた人の番号をすべて答えよ．また，$20$番までの人が終わったときに$12$番のロッカーは開いているか閉じているかを答えよ．

問４　$1$番から$100$番の人が順に操作を終えたとき，空いているロッカーの番号をすべて答えよ．また，それが正しい理由を書くこと．