2021　東京大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の実数とする．座標平面上の曲線$C$を$y=a{x}^3-2x$で定める．原点を中心とする半径$1$の円と$C$の共有点の個数が$6$個であるような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$N$を$5$以上の整数とする．$1$以上$2N$以下の整数から，相異なる$N$個の整数を選ぶ．ただし$1$は必ず選ぶこととする．選んだ数の集合を$S$とし，$S$に関する以下の条件を考える．

条件１：$S$は連続する$2$個の整数からなる集合を$1$つも含まない．

条件２：$S$は連続する$N-2$個の整数からなる集合を少なくとも$1$つ含む．

ただし，$2$以上の整数$k$に対して，連続する$k$個の整数からなる集合とは，ある整数$l$を用いて$\{l,l+1,\cdots ,l+k-1\}$と表される集合を指す．例えば$\{1,2,3,5,7,8,9,10\}$は連続する$3$個の整数からなる集合$\{1,2,3\}\text{，}$$\{7,8,9\}\text{，}$$\{8,9,10\}$を含む．

(1)　条件１を満たすような選び方は何通りあるか．

(2)　条件２を満たすような選び方は何通りあるか．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数とする．座標平面上の放物線

$C\text{：}y=x^2+ax+b$

は放物線$y=-x^2$と$2$つの共有点を持ち，一方の共有点の$x$座標は$-1<x<0$を満たし，他方の共有点の$x$座標は$0<x<1$を満たす．

(1)　点$(a,b)$のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)　放物線$C$の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　正の奇数$K\text{，}$$L$と正の整数$A\text{，}$$B$が$KA=LB$を満たしているとする．$K$を$4$で割った余りが$L$を$4$で割った余りと等しいならば，$A$を$4$で割った余りは$B$を$4$で割った余りと等しいことを示せ．

(2)　正の整数$a\text{，}$$b$が$a>b$を満たしているとする．このとき，$A={}_{4a+1}C_{4b+1}\text{，}$$B={}_{a}C_b$に対して$KA=LB$となるような正の奇数$K\text{，}$$L$が存在することを示せ．

(3)　$a\text{，}$$b$は(2)の通りとし，さらに$a-b$が$2$で割り切れるとする．${}_{4a+1}C_{4b+1}$を$4$で割った余りは${}_{a}C_b$を$4$で割った余りと等しいことを示せ．

(4)　${}_{2021}C_{37}$を$4$で割った余りを求めよ．

【２】　複素数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対して整式$f(z)=a{z}^2+bz+c$を考える．$i$を虚数単位とする．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を複素数とする．$f(0)=\alpha \text{，}$$f(1)=\beta \text{，}$$f(i)=\gamma$が成り立つとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$で表せ．

(2)　$f(0)\text{，}$$f(1)\text{，}$$f(i)$がいずれも$1$以上$2$以下の実数であるとき，$f(2)$のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ．

【３】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+3}}$

に対して，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．点$\mathrm{A}$$(1,f(1))$における$C$の接線を

$l\text{：}y=g(x)$

とする．

(1)　$C$と$l$の共有点で$\mathrm{A}$と異なるものがただ$1$つ存在することを示し，その点の$x$座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた共有点の$x$座標を$\alpha$とする．定積分

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^1}{\{f(x)-g(x)\}}^2\mathit{dx}$

を計算せよ．

【５】　$\alpha$を正の実数とする．$0\leqq \theta \leqq \pi$における$\theta$の関数$f(\theta )$を，座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(-\alpha ,-3)\text{，}$$\mathrm{P}$$(\theta +\sin \theta ,\cos \theta )$間の距離$\mathrm{AP}$の$2$乗として定める．

(1)　$0<\theta <\pi$の範囲に$f^{\prime }(\theta )=0$となる$\theta$がただ$1$つ存在することを示せ．

(2)　以下が成り立つような$\alpha$の範囲を求めよ．

　$0\leqq \theta \leqq \pi$における$\theta$の関数$f(\theta )$は，区間$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のある点において最大になる．

【６】　定数$b\text{，}$$c\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$r$に対し，

$x^4+bx+c=(x^2+px+q)(x^2-px+r)$

が$x$についての恒等式であるとする．

(1)　$p\ne 0$であるとき，$q\text{，}$$r$を$p\text{，}$$b$で表せ．

(2)　$p\ne 0$とする．$b\text{，}$$c$が定数$a$を用いて

$b=(a^2+1)(a+2)\text{，}$$c=-(a+{\displaystyle \frac{3}{4}})(a^2+1)$

と表されているとき，有理数を係数とする$t$についての整式$f(t)$と$g(t)$で

$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\}=0$

を満たすものを$1$組求めよ．

(3)　$a$を整数とする．$x$の$4$次式

$x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+{\displaystyle \frac{3}{4}})(a^2+1)$

が有理数を係数とする$2$次式の積に因数分解できるような$a$をすべて求めよ．