2021　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　$0$から$9$までの相異なる整数が$1$つずつ書かれた$10$個の球が，袋の中に入っている．この袋から球を無作為に$1$個取り出してはもとにもどす操作を$3$回くり返したとき，取り出した球に書かれている数を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$とする．また$b_1=10+a_1\text{，}$$b_2=20+a_2\text{，}$$b_3=30+a_3$とおき，$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$b_1+b_2+b_3$の$1$の位を四捨五入してえられる数をそれぞれ$c_1\text{，}$$c_2\text{，}$$c_3\text{，}$$c_4$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$b_1+b_2+b_3=70$となる確率を求めよ．

(2)　$c_4=90$となる確率を求めよ．

(3)　$c_1=20$かつ$c_1+c_2+c_3>c_4$となる確率を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$h$を正の実数とし，$xyz$空間の$5$点$\mathrm{A}$$(a,a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-a,a,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-a,-a,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(a,-a,0)\text{，}$$\mathrm{E}$$(0,0,h)$を頂点とする四角錘を$P$とする．$P$の$yz$平面による断面の周の長さが$1$であるとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$h$を$a$の式で表せ．また，$a$が取り得る値の範囲を求めよ．

(2)　球$S$は$P$のすべての面に接しているとする．$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$S$の体積が最大となる$a$の値を求めよ．

(3)　直方体$Q$は$1$つの面が$xy$平面上にあり，すべての頂点が$P$の辺上または面上にあるとする．$a$を固定したとき，$Q$の体積が取り得る値の最大値を$V(a)$とおく．$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$V(a)$の最大値を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数とし，曲線$C\text{：}y=b\sqrt{1+{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}}$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$u$を実数とし，$C$上の点$(u,b\sqrt{1+{\displaystyle \frac{u^2}{a^2}}})$における接線の方程式を，$a\text{，}$$b\text{，}$$u$を用いて表せ．

(2)　$C$上の異なる$2$点における接線の交点の全体からなる領域を図示せよ．

(3)　(2)の領域にある点$(p,q)$について，点$(p,q)$を通る$C$の接線の接点をすべて通る直線の方程式を，$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数とし，関数$y=ax+{\displaystyle \frac{b}{x}}$の$x>0$の範囲のグラフを$C$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$u$を正の実数とし，$C$上の点$(u,au+{\displaystyle \frac{b}{u}})$における接線の方程式を，$a\text{，}$$b\text{，}$$u$を用いて表せ．

(2)　$C$上の異なる$2$点における接線の交点の全体からなる領域を図示せよ．

(3)　(2)の領域にある点$(p,q)$について，点$(p,q)$を通る$C$の接線の接点をすべて通る直線の方程式を，$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$を用いて表せ．