2021　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　$n+1\text{，}$$n^2+2\text{，}$$n^3+3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n^k+k$がすべて素数となるような自然数$n\text{．}$$k$が存在するとき，$k$の最大値を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}$とするとき，下の問いに答えよ．ただし，三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わり，その点を三角形の垂心という．

(1)　等式$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が成り立つことを示せ．

(2)　等式$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3+2\sqrt{3}}}$が成り立つような$\mathrm{\angle A}$の大きさを求めよ．

【３】　$xy$平面上に$2$つの曲線$C_1\text{：}y=a{e}^x\text{．}$$C_2\text{：}y=x{e}^{-x}$がある．ただし，$a$は定数とする．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　$C_2$の概形をかいて，$C_1$と$C_2$の共有点の個数を調べよ．

(2)　$C_1$が$C_2$に接するとき，$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，$2$つの曲線が接するとは，共有点においてそれぞれの接線が一致することである．

【４】 　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$において，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\log |1+\tan x\tan \theta |\mathit{d\theta }$

によって定義するとき，下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq \theta \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対して，等式

$1+\tan x\tan \theta ={\displaystyle \frac{\cos (x-\theta )}{\cos x\cos \theta }}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．