2021　東京工業大学　前期MathJax

【１】　正の整数に関する条件

(＊)　$10$進法で表したときに，どの位にも数字$9$が現れない

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$k$を正の整数とするとき，${10}^{k-1}$以上かつ${10}^k$未満であって条件(＊)を満たす正の整数の個数を$a_k$とする．このとき，$a_k$を$k$の式で表せ．

(2)　正の整数$n$に対して，

$b_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{n}}& \text{（}n\text{が条件(＊)を満たすとき）}\\ 0& \text{（}n\text{が条件(＊)を満たさないとき）}\end{array}$

とおく．このとき，すべての正の整数$k$に対して次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{{10}^k-1}}{b}_n<80$

【２】　$xy$平面上の楕円

$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．直線$l\text{：}y=ax+b$と楕円$E$が異なる$2$点を共有するための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

(2)　実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対して，直線$l\text{：}y=ax+b$と直線$m\text{：}y=ax+c$が，それぞれ楕円$E$と異なる$2$点を共有しているとする．ただし，$b>c$とする．直線$l$と楕円$E$の$2$つの共有点のうち$x$座標の小さい方を$\mathrm{P}\text{，}$大きい方を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$m$と楕円$E$の$2$つの共有点のうち$x$座標の小さい方を$\mathrm{S}\text{，}$大きい方を$\mathrm{R}$とする．このとき，等式

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{SR}}$

が成り立つための$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の条件を求めよ．

(3)　楕円$E$上の$4$点の組で，それらを$4$頂点とする四角形が正方形であるものをすべて求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　正の整数$n$に対して，二項係数に関する次の等式を示せ．

$n{}_{2n}C_n=(n+1){}_{2n}C_{n-1}$

　また，これを用いて${}_{2n}C_n$は$n+1$の倍数であることを示せ．

(2)　正の整数$n$に対して，

$a_n={\displaystyle \frac{{}_{2n}C_n}{n+1}}$

とおくこのとき，$n\geqq 4$ならば$a_n>n+2$であることを示せ．

(3)　$a_n$が素数となる正の整数$n$をすべて求めよ．

【４】　$S$を，座標空間内の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面とする．$S$上を動く点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$に対して

$F=2({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)$$-3({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2+{\mathrm{CD}}^2)$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$によらない定数$k$によって

$F=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{d})$

と書けることを示し，定数$k$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が球面$S$上を動くときの，$F$の最大値$M$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{C}$の座標が$(-{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}},0)\text{，}$点$\mathrm{D}$の座標が$(1,0,0)$であるとき，$F=M$となる$S$上の点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の組をすべて求めよ．

【５】　$xy$平面上の円$C\text{：}{x}^2+{(y-a)}^2=a^2$$\text{（}a>0\text{）}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　円$C$が$y\geqq x^2$で表される領域に含まれるための$a$の範囲を求めよ．

(2)　円$C$が$y\geqq x^2-x^4$で表される領域に含まれるための$a$の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)の範囲にあるとする．$xy$平面において連立不等式

$\left|x\right|\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\text{，}$$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}\text{．}$$y\geqq x^2-x^4\text{，}$$x^2+{(y-a)}^2\geqq a^2$

で表される領域$D$を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．