2021　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})$

と定める．曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$のグラフの凹凸を調べよ．また，曲線$C_1$の概形を描け．

(ⅲ)　曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(ⅳ)　${\{f(x)\}}^2$を$f^{\prime }(x)$の式で表し，${\{f(x)\}}^2$の不定積分を求めよ．

(ⅴ)　曲線$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　$k$を$1$以上の実数とし，

$f(x)=e^{-k{x}^2}$

とする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ，

(ⅰ)　$t$を正の実数とし，$xy$座標平面上の$4$点$(-t,0)\text{，}$$(t,0)\text{，}$$(t,f(t))\text{，}$$(-t,f(t))$を頂点とする長方形の面積を$g(t)$とする．

(ア)　導関数$g^{\prime }(t)$を求めよ．

(イ)　$g(t)$の最大値$S_1$を$k$の式で表せ．

(ⅱ)　$s$を実数とし，$xy$座標平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$$(s,f(s))$との距離の$2$乗${\mathrm{OP}}^2$を$h(s)$とする．$h(s)$が極値をとる$s$の値をすべて求めよ．

(ⅲ)　$xy$座標平面において，不等式$0\leqq y\leqq f(x)$で表される領域を$D$とする．また，正の実数$r$に対して，不等式$0\leqq y\leqq \sqrt{r^2-x^2}$で表される領域を$E_r$とする．

　$E_r$が$D$に含まれるように$r$を動かすとき，$E_r$の面積の最大値$S_2$を$k$の式で表せ．

(ⅳ)　$k={\displaystyle \frac{4^N}{e}}$$\text{（}N=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とするとき，$2S_2<S_1$となる最小の$N$の値を求めよ．ただし，必要ならば，$4<{\displaystyle \frac{e\pi \log 2}{\sqrt{2}}}<5$であることを用いてもよい．ここで，$\pi$は円周率で，$\log$は自然対数である．

【３】　関数$f(x)$と$g(x)$を

$f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{），}$$g(x)=x+{\displaystyle \frac{5}{9x}}$$\text{（}x>0\text{）}$

と定め，曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と曲線$C_2\text{：}y=g(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C_1$上の点$(s,f(s))$における接線$l$の方程式を求めよ．

　$t$を正の実数とし，$C_2$上の点$\mathrm{P}$$(t,g(t))$から$C_1$へ引いた$2$本の接線の接点を，$x$座標の小さいものから順に，点$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{R}$とする．

(ⅱ)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標$x_1(t)$と点$\mathrm{R}$の座標$x_2(t)$を求めよ．

(ⅲ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$t$を用いて表し，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S_1(t)$を求めよ．

(ⅳ)　直線$\mathrm{QR}$の方程式を求めよ．

(ⅴ)　曲線$C_1$と直線$\mathrm{QR}$とで囲まれた部分の面積$S_2(t)$を求めよ．

【４】　$1\text{，}$$4\text{，}$$7$の$3$つの数字だけを用いて表せる正の整数を小さいものから順に並べた数列を数列$\{a_n\}$とする．数列$\{a_n\}$は初項$a_1$から順に，次のようになる．

$1,$$4,$$7,$$11,$$14,$$17,$$41,$$44,$$47,$$71,$$74,$$77,$$111,$$\cdots$

$m$を正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$に現れる$m$桁の整数の個数$t(m)$を$m$を用いて表せ．さらに，数列$\{a_n\}$に現れる$m$桁以下の整数の個数$T(m)$を$m$を用いて表せ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$に現れる$m$桁の整数すべての和$S(m)$を$m$を用いて表せ．

(ⅲ)　第$100$項$a_{100}$を求めよ．

(ⅳ)　$m$を$2$以上の整数とする．最高位が$7$で，それ以外がすべて$1$の$m$桁の整数$711\cdots 1$を$P_m$とする．

(ア)　数列$\{a_n\}$に現れる$m$桁の整数の項を小さいものから順に数えるとき，$P_m$が$I(m)$番目であるとする．$I(m)$を$m$を用いて表せ．

(イ)　$P_m$が数列$\{a_n\}$の第$L(m)$項に現れるとする．$L(m)$を$m$を用いて表せ，

(ⅴ)　$k$を正の整数とする．$7$と$1$が$k$回交互に並ぶ$2k$桁の整数$7171\cdots 71$が数列$\{a_n\}$の第$M(k)$項に現れるとする．$M(k)$を$k$を用いて表せ．