2021　新潟大学　推薦理学部数学プログラムMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${(x+2)}^6$の展開式を求めて，${2022}^6$を${2020}^2$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$のとき，$\cos 2\alpha +\cos 3\alpha =0$が成り立つことを証明し，$\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　次の方程式を解け．

$3^{2x+2}-6\cdot 9^x-7\cdot 3^{x+1}-2\cdot 3^3=0$

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$1$個のさいころを投げて，$1$の目が出たら得点が$+5$されて，それ以外の目が出たら得点が$-1$されるゲームを行う．さいころを$6$回投げたとき，得点の合計が$6$である確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3$とする．また，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下した垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下した垂線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=m\overrightarrow{\mathrm{OB}}$としたとき，$m$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{AE}:\mathrm{EB}$を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{OE}$が直線$\mathrm{AF}$と交わる点を$\mathrm{H}$とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$と三角形$\mathrm{OAH}$の面積の比を求めよ．

【３】　数列$\{x_n\}$を次のように定める．

$x_1=0\text{，}$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{(n+1)x_n+1}{x_n+(n+1)}}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4\text{，}$$x_5$を求めよ．

(2)　$y_n=(n^2+n+2)x_n$としたとき，$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$y_4$を求めよ．

(3)　数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{（}x\ne 0\text{）}\\ 0& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$を求めよ．

(2)　$a\ne 0$に対して，$f^{\prime }(a)$を求めよ．

(3)　$f^{\prime }(0)$を求めよ．