2021　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　底面が半径$r$の円で，高さが$h$である円柱を考える．この円柱の表面積を$S\text{，}$体積を$V$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$S\text{，}$$V$をそれぞれ$r\text{，}$$h$を用いて表しなさい．

(2)　$S=6$を満たしながら$r\text{，}$$h$の値が変化するとき，$V$の最大値とそのときの$r\text{，}$$h$を求めなさい．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,c)$がある．$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵OBC}\text{，}$$\mathrm{▵OAC}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の面積をそれぞれ$S\text{，}$$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

(2)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

(3)　$S^2$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

(4)　$S^2$を$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$を用いて表しなさい．

【３】　関数$f(x)=\cos x$を考える．曲線$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分を$C\text{，}$点$({\displaystyle \frac{\pi }{4}},f({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right)$における$C$の接線を$l\text{，}$$C$と$l$と$x$軸で囲まれた部分の図形を$D$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$l$の方程式を求めなさい．

(2)　$D$の面積$S$を求めなさい．

(3)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．

【４】　$n$を$2$桁の自然数とする．$n^2$の下$2$桁が$n$に一致する，すなわち，$n^2-n$が$100$の倍数になる$n$をすべて求めなさい．