2021　金沢大学　前期　理系MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を，初項$a_1=-1\text{，}$$b_1=2$と漸化式

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n-4b_n\\ b_{n+1}=a_n+5b_n\end{array}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c_n=a_{n+1}-3a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$が漸化式$c_{n+1}=3c_n$を満たすことを示せ．

(2)　$d_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}$とおくとき，数列$\{d_n\}$が満たす漸化式を導き，数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とし，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^n}}$$\text{（}x>1\text{）}$

と定める．$y=f_n(x)$で表される曲線を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x>1$のとき，$\log x<x-1$を示せ．また，$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=0$を示せ．

(2)　関数$f_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　曲線$C$の変曲点を求めよ．また，その変曲点における接線と$y$軸との交点を$(0,y_n)$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【３】　底面の半径が$1$で高さが$1$である直円柱を考える．直円柱の底面の直径を含みこの底面と$30\mathrm{°}$の傾きをなす平面により，直円柱を$2$つの立体に分けるとき，小さい方の立体の体積を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とし，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にすべての頂点をもつ正$2n$角形を考える．そのうちの$1$つの頂点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{A}$とそれ以外の頂点を結ぶ線分が点$\mathrm{O}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円と共有点をもつような頂点の個数を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　$a_{2021}$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{n}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$を示せ．