2021　金沢大学　後期　理工学域MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$(x+y+1)(x-y+1)=4$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組をすべて求めよ．

(2)　${(x+y+1)}^2+{(x-y+1)}^2=4$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組をすべて求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{x+y+1}}+{\displaystyle \frac{1}{x-y+1}}=2$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組をすべて求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，$0<s<1\text{，}$$0<t<1$に対し，辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{PQ}\perp \mathrm{CD}$のとき，$s$を$t$を用いて表し，$t$がとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$\mathrm{PQ}\perp \mathrm{CD}$とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$上の点$\mathrm{R}$があって，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}$となるように$t$を定め，このときの$\mathrm{▵OBR}$の面積を求めよ．

【３】　$t\geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$についての方程式$2\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}=t\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}$が$0\leqq x\leqq \pi$の範囲でただ$1$つの解をもつことを示せ．

(2)　$S(t)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|2\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}-t\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}|\mathit{dx}$とする．曲線$y=S(t)$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$と直線$y=k$が異なる$2$個の共有点をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は$a\geqq b\geqq c>1$を満たし，正の定数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は$p+q+r=1$を満たすとする．関数$f(x)\text{，}$$g(x)$をそれぞれ

$\begin{array}{cc}f(x)=p{a}^x+q{b}^x+r{c}^x& \text{（}x\text{は実数），}\\ g(x)={(f(x))}^{\frac{1}{x}}& \text{（}x>0\text{）}\end{array}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\log f(0)$の値および${(\log f(x))}^{\prime }$を求めよ．

(2)　$\underset{x\to +0}{\lim }\log g(x)$を求めよ．

(3)　$x>0$のとき，$\log p+x\log a\leqq \log f(x)\leqq x\log a$を示せ．

(4)　$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)$を求めよ．