2021　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{シ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　$6$個の値$5\text{，}$$1\text{，}$$11\text{，}$$3\text{，}$$a\text{，}$$b$からなるデータの平均値が$5.5\text{，}$中央値が$4.5$であるとする．ただし，$a<b$とする．このとき，$a=\text{ア}$であり，$b=\text{イ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{シ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　整式$P(x)=x^6-4x^5+x^4+x^2-4x+1$を考える．$y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおくと，${\displaystyle \frac{P(x)}{x^3}}=\text{ウ}$のように$y$の$1$次式の積に因数分解できる．また，方程式$P(x)=0$の実数解のうち最小のものを求めると$x=\text{エ}$となる．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{キ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$a$を正の定数とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$$(0,0)$と定点$\mathrm{A}$$(x_1,0)$（ただし$x_1\ne 0$）について，$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:a$である点$\mathrm{P}$$(x,y)$の軌跡が点$(2,0)$を中心とする半径$1$の円となるとき，$x_1=\text{オ}\text{，}$$a=\text{カ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{シ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,3)$がある．直線$l$が$\mathrm{\angle ABC}$を$2$等分するとき，$l$の傾きは$\text{キ}$であり，$y$切片は$\text{ク}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{シ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(5)　座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{3}},0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$があり，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面に垂直なベクトルの$1$つを求めると$\overrightarrow{n}=(1,\text{ケ},\text{コ})$である．原点$\mathrm{O}$$(0,0,0)$とこの平面の距離は$\text{サ}$である．また，実数$\alpha$に対して座標が$(\alpha ,2\alpha ,3\alpha )$である点を$\mathrm{D}$とし，原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが$2\overrightarrow{n}$となる点を$\mathrm{E}$とする．原点と点$\mathrm{E}$が点$\mathrm{D}$を中心とする球面上にあるとき，$\alpha =\text{シ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{ス}$から$\text{チ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\{\cos (x+\sin x)+\cos (x-\sin x)\}\mathit{dx}=\text{ス}$であり，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\cos (\sin x)\sin 2x\mathit{dx}=\text{セ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{ス}$から$\text{チ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　複素数$\alpha \text{，}$$\beta$が$\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta =0\text{，}$$|\alpha -\beta |=2$を満たすとき，$2\left|\alpha \right|+\left|\beta \right|$の値が最大となるのは，$\left|\alpha \right|=\text{ソ}\text{，}$$\left|\beta \right|=\text{タ}$のときである．

【２】　次の問題文の空欄$\text{ス}$から$\text{チ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　等式$2021x+312y=1$を満たす整数$x\text{，}$$y$のうち，$\left|x\right|+\left|y\right|$の値が最小である$x\text{，}$$y$の組は，$(x,y)=\text{チ}$である．

【３】　$5$人が円形のテーブルに向かって着席し，$1$枚の硬貨と$2$枚のカードを使うゲームを行う．最初は$5$人のうち$1$組の隣り合う$2$人がカードを$1$枚ずつ持っている．このとき，次の操作$\mathrm{P}$を行う．

【４】　任意の自然数$m$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^m$は$n$についての$(m+1)$次式で表されることを証明せよ．ただし，$m=1$のとき${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$となり，$n$についての$2$次式で表されることは証明なしで使ってよい．

【５】　$x>0$で定義された関数$f(x)=\log x-{(\log x)}^2$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$に対して，方程式$f^{(n)}(x)=0$の解を$x=x_n$とおく．このとき，${\displaystyle \frac{x_{n+1}}{x_n}}$を求めよ．