2021　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．なお，必要があれば等式

$a^3+b^3+c^3-3abc$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

を利用してもよい．

(1)　実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対して，不等式

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqq 0$

を証明せよ．また，等号が成り立つときの$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の条件を求めよ．

(2)　正の実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$に対して，$P\text{，}$$Q\text{，}$$R$を

$P={\displaystyle \frac{x+y+z}{3}}\text{，}$$Q=\sqrt[3]{xyz}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{R}}={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}})$

とおく．このとき，不等式$P\geqq Q\geqq R$を証明せよ．また，各等号が成り立つときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の条件を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=3$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{AD}=1$とする．

(a)　$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(b)　(a)とは別の解法で$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　焦点が$(0,0)\text{，}$準線が$y=-2$の放物線と直線$y=2$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(a)　$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(b)　(a)とは別の解法で$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　階段を一度に$1$段登る，または$1$段飛ばして登る登り方をするとき，$n$段目までの登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_3=3$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を$3$以上の整数とする．$n-1$段目を踏む$n$段目までの登り方の総数を$b_n\text{，}$$n-1$段目を踏まない$n$段目までの登り方の総数を$c_n$とする．$b_n\text{，}$$c_n$を$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_{n-1}$を用いて表せ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$が存在することを認めて，この極限値を求めよ．

(3)　$n$を$2$以上の整数とするとき，等式

$a_{2n}=a_n^2+a_{n-1}^2$

が成立することを示せ．

【４】　$n$を$3$以上の奇数，$k$を$1\leqq k<n$を満たす整数とする．また，関数$f(x)$を

$f(x)=\sqrt[n]{x^{n-k}{(x-1)}^k}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x\to \infty$のとき，$f(x)-ax$が収束するように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．

(2)　$f(x)$が原点で極値をもつための条件を求め，そのときの$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．