2021　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　$x>0$において，関数$f(x)\text{，}$$g(x)\text{，}$$h(x)$を

$f(x)=e^x-x^e\text{，}$$g(x)=e^{x-1}\text{，}$$h(x)=x^{e-1}$

で定める．すべての自然数$n$に対して$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n}{e^x}}=0$であること，および$2<e<3$であることを用いてよい．

(1)　$1<x<e$のとき，$\log g(x)<\log h(x)$であることを示せ．

(2)　$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．

(3)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(4)　$k$を定数とする．方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

【２】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=(\sqrt{2}+4)\cos x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x$

$g(x)=4\cos x+\sin x\cos x$

で定める．

(1)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$g(x)$の最大値を$M$とする．$M^2$の値を求めよ．

(3)　$0<f(x)\leqq g(x)$となる$x$の範囲を求めよ．

(4)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれる図形のうち，$x$が(3)で求めた範囲にある部分の面積$S$を求めよ．

【３】　コインを同時に$2$枚投げ，表が出たコインの枚数を得点とする．この操作を$n$回行い，合計点を考える．$n\geqq 2$とする．

(1)　$n=5$のとき，合計点が$8$点となる確率を求めよ．

(2)　$n$回のうち$1$回だけ$2$点を取って合計点が$n$点となる確率を求めよ．

(3)　$n$回のうち$1$回だけ$2$点を取って合計点が$n$点であったとき，$2$回目の得点が$1$点である確率を求めよ．

(4)　$n$回のうち$1$回だけ$1$点を取って合計点が$n$点となる確率を求めよ．

【４】　一辺の長さが$10$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，辺$\mathrm{GH}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{BM}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AE}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．$\mathrm{AQ}=t$とおく．

(1)　$\mathrm{\angle EBM}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{PQ}$を$t$で表せ．

(4)　立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$の面のうち，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{H}$を頂点とする正方形を$S$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直線$\mathrm{AE}$のまわりに$1$回転させるとき，点$\mathrm{P}$が$S$を通過するような$t$の範囲を求めよ．

(5)　$t$を(4)で求めた範囲で変化させたとき，線分$\mathrm{PQ}$が動いてできる図形を$K$とする．$K$を直線$\mathrm{AE}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．