2021　滋賀大学　後期経済学部MathJax

【１】　(1) 点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，

$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(2)　$\sin \mathrm{\angle AOB}$の値を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|$を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

【２】　$k$を実数の定数とする．関数$f(x)$を

と定め，$t=2^x+2^{-x}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$を$t$の式として表し，$g(t)$とおく．$g(t)$を求めよ．

(3)　$g(t)$を$t-1$で割ったときの商を求めよ．

(4)　方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$k$の値の範囲を求めよ．

【３】 　$a$を正の定数とする．放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-4ax+4a^2-4a$の両方に接する直線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$l$の方程式を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$および$l$で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．

【４】　正方形の板の片面が，右図のように$5$つの合同な長方形に区切られている．それぞれの長方形を赤，青，緑，黄，紫の$5$色の色鉛筆から$1$色を選んで塗る．ただし，隣り合う長方形は異なる色で塗ることとする．また，正方形の板を回転させて一致する塗り方は同じ塗り方とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$色で塗る場合の塗り方は何通りあるか．

(2)　$5$色すべて用いて塗る場合の塗り方は何通りあるか．

(3)　$4$色以下で塗る場合の塗り方は何通りあるか．

(4)　$4$色で塗る場合の塗り方は何通りあるか．