2021　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　$x$の関数

$f(x)=(\cos x)e^{\sqrt{2}\sin x}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．$xy$平面における$y=f(x)$のグラフを$C$とおく．

(1)　$xy$平面において，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　$C$上の点$(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}},f(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の最大値を求めよ．

【２】　$x$の関数

$f(x)=6x-6\log x-3{(\log x)}^2-{(\log x)}^3$$\text{（}x>0\text{）}$

を考える．

(1)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)$はそれぞれ$f(x)$の第$1$次，第$2$次の導関数である．

(2)　正の実数$x$に対して，不等式$f(x)\geqq f(1)$が成り立つことを示せ．

(3)　(2)の不等式を用いて，極限$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x}}$を求めよ．

【３】　$xy$平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点とよぶ．

(1)　実数$x\text{，}$$y$に対し，実数$k\text{，}$$l$をそれぞれ次の等式

$5x+4y=k\text{，}$$3x+2y=l$

によって定めるとき，次の$2$条件(ⅰ)．(ⅱ)は同値であることを示せ．

(ⅰ)　$x\text{，}$$y$はともに整数である．

(ⅱ)　$k\text{，}$$l$はともに偶数であるか，または$k\text{，}$$l$はともに奇数である．

ただし，$2$で割り切れる整数を偶数とよび，$2$で割り切れない整数を奇数とよぶ．

(2)　$n$を自然数とする．$xy$平面において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq 5x+4y\leqq n\\ 0\leqq 3x+2y\leqq n\end{array}$

の表す領域を$D_n$とする．$D_n$に含まれる格子点の個数を，$n$を用いて表せ．

【４】　$a\text{，}$$b$を実数とし，$a\text{，}$$b\text{，}$および$1-a-b$はすべて正であるとする．サイコロが$1$個あり，$1$の目が出る確率は$a$であり，$2$の目が出る確率は$b$であり，$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のいずれかの目が出る確率は$1-a-b$であるとする．箱$\mathrm{A}$に球がいくつか入っており，それぞれの球は黄球，赤球，白球のいずれかであるとき，この箱$\mathrm{A}$に対する次の操作(＊)を考える：

(＊)$\{\begin{array}{l}\text{空の袋を用意し，箱}\mathrm{A}\text{の中のすべての球をその袋に移して}\\ \text{まず箱}\mathrm{A}\text{を空にし，次にその袋に入っているそれぞれの球}\\ \text{について，次の(ⅰ)，(ⅱ)を行う．}\\ \text{(ⅰ) その球の色が黄ならサイコロを振り，}1\text{の目が出れば}\\ \text{黄球}2\text{個を箱}\mathrm{A}\text{に入れ，}2\text{の目が出れば赤球}1\text{個を箱}\mathrm{A}\text{に}\\ \text{入れ，それら以外の目が出れば黄球}1\text{個を箱}\mathrm{A}\text{に入れる．}\\ \text{(ⅱ) その球の色が赤または白なら，白球}1\text{個を箱}\mathrm{A}\text{に入れる．}\end{array}$

最初に黄球$1$個のみが入っている箱$\mathrm{A}$に対し操作(＊)を$3$回行った直後に箱$\mathrm{A}$に入っている黄球，赤球，白球の個数を，それぞれ$Y\text{，}$$R\text{，}$$W$と表す．ただし，$2$回目以降の操作(＊)は，その直前に行った操作(＊)により得られた箱$\mathrm{A}$に対し行うものとする．

(1)　$W=2$となる確率$p_1$を求めよ．

(2)　$W\geqq 1$となる確率$p_2$を求めよ．

(3)　$R\geqq 3$となる確率$p_3$を求めよ．