2021　奈良女子大学　前期MathJax

(1)　自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2$を$24$で割った余りは$1$であることを示せ．

(2)　$p^2-1=24q$をみたす素数$p$と素数$q$の組$(p,q)$をすべて求めよ．

(1)　直線$\mathrm{AP}$の傾きは直線$\mathrm{BP}$の傾きより大きいことを示せ．

(2)　$\tan \alpha$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となる点$\mathrm{P}$をすべて求めよ．

(1)　直線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　グラフ$C$と直線$l$が$2$つの共有点をもつための$a$の条件を求めよ．

(3)　$a$が(2)の条件をみたすとき，グラフ$C$と直線$l$で囲まれる部分の面積を$a$を用いて表せ．

(1)　$f(3)\text{，}$$f(4)\text{，}$$f(5)$をそれぞれ求めよ．

(2)　どのような自然数$n$に対しても，$f(n)$は$4$の倍数であることを示せ．

(3)　$f(n)>8$となる自然数$n$を$1$つ求め，その$n$に対して$x^2+y^2=n$をみたす整数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

$t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-(t+2)\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

をみたしているとする．以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t>1$であることを示せ．

(3)　$t=3$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$f(x)=({\log }_{2}a)x^3+({\log }_2{a}^3)x^2-8$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値をすべて求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$個の実数解をもつための$a$の条件を求めよ．