2021　奈良女子大学　後期MathJax

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|e^x-a|\mathit{dx}$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$F(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$F(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．

(1)　正四面体$\mathrm{ABCD}$および四面体$\mathrm{APQR}$の体積をそれぞれ求めよ．

(2)　四面体${\mathrm{G}}_1{\mathrm{G}}_2{\mathrm{G}}_3{\mathrm{G}}_4$は正四面体であることを示せ．

(3)　正四面体${\mathrm{G}}_1{\mathrm{G}}_2{\mathrm{G}}_3{\mathrm{G}}_4$の体積を求めよ．

(4)　$6$つの点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$${\mathrm{G}}_3\text{，}$${\mathrm{G}}_1\text{，}$${\mathrm{G}}_2$を頂点とする正八面体の体積を求めよ．

$a_n=n^2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}|f({\displaystyle \frac{k}{n}})-f({\displaystyle \frac{k-1}{n}}\left)\right|$ \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$

と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_3\text{，}$$a_4$をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$が偶数のとき$n=2m$とおく．$a_n$を$m$を用いて表せ．

(3)　$n$が奇数のとき$n=2m-1$とおく．$a_n$を$m$を用いて表せ．

(4)　$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2n}$を$n$を用いて表せ．