2021　岡山大学　前期MathJax

【１】　$2$つのチーム$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$が野球の試合を繰り返し行い，先に$4$勝したチームを優勝とする．第$1\text{，}$$2\text{，}$$6\text{，}$$7$戦は$\mathrm{S}$のホームゲームであり，第$3\text{，}$$4\text{，}$$5$戦は$\mathrm{T}$のホームゲームである．$\mathrm{S}$のホームゲームで$\mathrm{S}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$であり，$\mathrm{T}$のホームゲームで$\mathrm{T}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{5}{6}}$とする．各試合で引き分けはないものとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　どちらかの優勝が決まるまでに$\mathrm{S}$が$1$勝以上する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{T}$のホームゲームで$\mathrm{T}$が優勝する確率を求めよ．

(3)　第$1\text{，}$$2$戦とも$\mathrm{S}$が勝ち，かつ$\mathrm{S}$が優勝する確率を求めよ．

【２】　$xy$平面上の$x$座標と$y$座標が共に正の整数である点$(x,y)$全体の集合を$D$とする．$D$に属する点$(x,y)$に対して$x+y$が小さいものから順に，また$x+y$が等しい点の中では$x$が小さい順に番号をつけ，$n$番目$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$の点を${\mathrm{P}}_n$とする．例えば，${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$の座標は順に$(1,1)\text{，}$$(1,2)\text{，}$$(2,1)$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　座標が$(2,4)$である点は何番目か．また，${\mathrm{P}}_{10}$の座標を求めよ．

(2)　座標が$(n,n)$である点の番号を$a_n$とする．数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　(2)で定めた数列$\{a_n\}$に対し，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$が整数のとき，$n$を$6$で割ったときの余りと$n^3$を$6$で割ったときの余りは等しいことを示せ．

(2)　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が条件

$a^3+b^3+c^3={(c+1)}^3$(＊)

を満たすとき，$a+b$を$6$で割った余りは$1$であることを示せ．

(3)　$1\leqq a\leqq b\leqq c\leqq 10$を満たす整数の組$(a,b,c)$で，(2)の条件(＊)を満たすものをすべて求めよ．

【４】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフが$2$点$(1,1)\text{，}$$(-1,-1)$を通るとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標が$x>0$の範囲にあるとき，頂点の$y$座標の最小値を求めよ．

(2)　放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標が$0\leqq y\leqq 2$の範囲にあるとき，この放物線と直線$y=x$で囲まれた図形の面積の最大値と最小値を求めよ．

【１】　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$\sin 3x=-\sin x$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

(2)　方程式$\sin 3x=\sin x$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

(3)　不等式$\sin 3x\geqq a\sin x$が$-1\leqq a\leqq 1$を満たすすべての$a$に対して成り立つような$x$の値の範囲を求めよ．

【２】　$z$は複素数で，$z\ne 0\text{，}$$z\ne \pm 1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(z)\text{，}$$\mathrm{C}(z^2)$が一直線上にあるための$z$についての必要十分条件を求めよ．

(2)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(z)\text{，}$$\mathrm{C}(z^2)$が$\mathrm{\angle C}$を直角とする直角三角形の$3$頂点になるような$z$全体の表す図形を複素数平面上に図示せよ．

(3)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(z)\text{，}$$\mathrm{C}(z^2)$が直角三角形の$3$頂点になるような$z$全体の表す図形を複素数平面上に図示せよ．

【４】　正の整数$n$に対して，関数$f(x)=x^{2n}$を考える．$t>0$に対して，曲線$y=f(x)$上の$3$点

$\mathrm{A}(-t,f(-t))\text{，}$$\mathrm{O}(0,0)，$$\mathrm{B}(t,f(t))$

を通る円の中心を$(p(t),q(t))\text{，}$半径を$r(t)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　極限$\underset{t\to +0}{\lim }p(t)\text{，}$$\underset{t\to +0}{\lim }q(t)\text{，}$$\underset{t\to +0}{\lim }r(t)$がすべて収束するとき$n=1$であることを示せ．また，このとき$a=\underset{t\to +0}{\lim }p(t)\text{，}$$b=\underset{t\to +0}{\lim }q(t)\text{，}$$c=\underset{t\to +0}{\lim }r(t)$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を(1)で求めたものとする．このとき，中心$(a,b)\text{，}$半径$c$の円と放物線$y=x^2$および直線$x=b$で囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．