2021　広島大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{2a+1}{2}}{x}^2-ax$が$x=a$で極大値をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の満たす条件を求めよ．

(2)　次の不等式を解け．

$|x+1|+|x-2|\leqq 4$

(3)　$x$が(2)の範囲を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を$a$を用いて表せ．

【２】　座標平面において，二つの放物線

$y=x^2\text{，}$$y=-\sqrt{2}{x}^2+3x+\sqrt{2}$

上にそれぞれ点$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$点$\mathrm{C}$$(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=x^2$上に点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$は垂直であるとする．このとき，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　放物線$y=-\sqrt{2}{x}^2+3x+\sqrt{2}$上に点$\mathrm{C}$と異なる点$\mathrm{D}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$は垂直であるとする．このとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$はそれぞれ(1)，(2)で定めたものとする．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であることを示せ．

【３】　$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目に出た目の数を$a\text{，}$$2$回目に出た目の数を$b\text{，}$$3$回目に出た目の数を$c$とする．また，

$f(x)={(-1)}^a{x}^2+bx+c$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$b^2>4c$である確率を求めよ．

(2)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる二つの実数解をもつ確率を求めよ．

(3)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる二つの実数解をもつとき，$f^{\prime }(1)=1$である条件付き確率を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$A=\sin x$とおく．$\sin 5x$を$A$の整式で表せ．

(2)　${\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=\cos 3x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$と曲線$y=\cos 7x$$\text{（}z\geqq 0\text{）}$の共有点の$x$座標を小さい方から順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$\cdots$とする．このとき，関数

$y=\cos 3x$$\text{（}{x}_5\leqq x\leqq x_6\text{）}$

の値域を求めよ．

【３】　$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目に出た目の数を$a\text{，}$$2$回目に出た目の数を$b\text{，}$$3$回目に出た目の数を$c$とする．また，

$f(x)={(-1)}^a{x}^2+bx+c$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$b^2>4c$である確率を求めよ．

(2)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる二つの実数解をもつ確率を求めよ．

(3)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる二つの実数解をもつとき，$f^{\prime }(1)=7$である条件付き確率を求めよ．

(4)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる二つの実数解をもつとき，少なくとも一つが正の解である条件付き確率を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$2$次方程式$x^2+x-(c-1)=0$が実数解$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもつとする．さらに，二つの等式$a+b=c^2\text{，}$$a\alpha +b\beta +c=0$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$および$b-a$を，それぞれ$c$を用いて表せ．

以下において，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を自然数とする．

(2)　$\sqrt{4c-3}$が自然数でないとき，自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組を求めよ．

(3)　自然数$s$を用いて，$4c-3=s^2$と表せるとき，$s$と$a$は等式

$s^5-s^4+6s^3+2s^2+(9-32a)s=-15$

を満たすことを示せ．

(4)　(3)のとき，自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組をすべて求めよ．

【５A】　座標平面において，曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{P}$$(t,e^t)$における法線を$l$とし，$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$t\ne 0$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，$t=0$のときは$\mathrm{R}$$(0,1)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{R}$のえがく曲線$C$の方程式を求めよ．

(3)　(2)の曲線$C\text{，}$$y$軸，直線$y=e^{-2}+e^2$で囲まれた図形$F$の面積を求めよ．

(4)　(3)の図形$F$を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【５B】　座標平面において，$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(4,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(3,0)$とする．線分$\mathrm{OA}$に点$\mathrm{P}$で接する円$C$を内接円とする$\mathrm{▵OAB}$を考える．ただし，円$C$の中心は第$1$象限にあるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{OB}$と$\mathrm{AB}$の差は一定であることを証明せよ．

(2)　円$C$の半径を$r$とするとき，$r$のとる値の範囲を求めよ．

(3)　$r$が(2)の範囲で変化するとき，点$\mathrm{B}$の軌跡の方程式を求めよ．また，その概形をかけ．