2021　山口大学　後期理学部数理科学科MathJax

【１】　$j$を自然数とする．$S_j(n)$を次のようにおく．

$S_j(n)=1^j+2^j+\cdots +n^j$$={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^j$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

例えば，$j=2$のとき，

$S_2(n)=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2$$={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$

となる．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$について，次の等式が成り立つことを示しなさい．

$S_{j+1}(n)=-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_j(k)+(n+1)S_j(n)$

(2)　$S_4(n)$を$n$を用いて，因数分解した形で表しなさい．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しているとする．辺$\mathrm{DA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$で表し，$\mathrm{\angle DAB}=\theta$とおく．また，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$T$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a^2+b^2-c^2-d^2=2(ab+cd)\cos \theta$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$が成り立つことを示しなさい．ただし，$s={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+b+c+d)$とする．

【３】　座標平面上の曲線$y=\log x$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}$$(a,\log a)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,\log t)$における法線をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とし，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$d$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$d$を$a$と$t$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$d$の極限値を$r$とする．$r$を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$a$が$a>0$の範囲を動くとき，(2)で求めた$r$の最小値を求めなさい．

【４】　座標平面内において，$y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$のグラフを曲線$C$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C$の概形をかきなさい．ただし，曲線Cの変曲点と凹凸は調べなくてよい．

(2)　$a>1$とする．曲線$C$と直線$y=ax$の交点の座標を求めなさい．

(3)　$1<a<b$とする．曲線$C$と直線$y=ax$および直線$y=bx$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．

(4)　$a\text{，}$$b$が$b=8a$を満たすとする．$a$が$a>1$の範囲を動くとき，(3)で求めた$V$の最小値を求めなさい．