2021　九州工業大学　前期MathJax

(ⅰ)　方程式$x=\sqrt{4-x^2}$を解け．

(ⅱ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅲ)　関数$g(x)$の極値を求めよ．

(ⅳ)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とおく．図形$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅴ)　(ⅳ)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{\log (a^x+b^x)-\log (2)}{x}}$

とする．次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$e^{f(1)}$を求めよ．また，$e^{f(-1)}$を求めよ．

(ⅱ)　関数$g(x)=\log (a^x+b^x)$について，$g(0)$および$g^{\prime }(0)$を求めよ．

(ⅲ)　極限値$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅳ)　関数$h(x)=x\log (x)$について，$h^{″}(x)$を求めよ．また，$x\ne 0$のとき，不等式$f^{\prime }(x)>0$を示せ．ただし，以下の命題は証明せずに用いてよい．

命題$\mathrm{P}$：正の実数$c\text{，}$$d$は$c\ne d$をみたしている．$x>0$のとき$k^{″}(x)>0$をみたす関数$k(x)$について，不等式

$k\left({\displaystyle \frac{c+d}{2}}\right)<{\displaystyle \frac{k(c)+k(d)}{2}}$

が成立する．

(ⅴ)　$x_1<0<x_2$のとき，$f(x_1)<f(x_2)$を示せ．また，不等式

${\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}<{\displaystyle \frac{a+b}{2}}$

を証明せよ．

(ⅰ)　菱形$\mathrm{ABCD}$の対角線の長さ$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BD}$を求めよ．

(ⅱ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$の体積$V$を求めよ．

(ⅴ)　球$K$が四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$の$5$つの面に接している．球$K$の半径$r$を求めよ．

(ⅰ)　$x\circ y=y\circ x$および$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$を示せ．

　以下では，$(x\circ y)\circ z$を$x\circ y\circ z$と表す．

(ⅱ)　$y>z$のとき，$x\circ y>x\circ z$を示せ．

(ⅲ)　$1$から$3$までの数字が$1$つずつ記入された$3$枚のカードから$1$枚を抜き出し，数字を調べてからもとに戻すことを$3$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目に調べた数字をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(a)　$a\circ b\circ c\geqq 1\circ 3\circ 3$かつ$a\leqq b\leqq c$をみたす$(a,b,c)$の組をすべて求めよ．

(b)　$a\circ b\circ c\geqq 1\circ 3\circ 3$となる事象を$A$とするとき，確率$P(A)$を求めよ．

(ⅳ)　$1$から$6$までの数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードから$1$枚を抜き出し，数字を調べてからもとに戻すことを$3$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目に調べた数字をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$a\circ b\circ c\leqq 1\circ 3\circ 4$となる事象を$E\text{，}$$a\circ b\circ c\leqq 1\circ 2\circ 2$となる事象を$F$とする．事象$E$が起こったときの，事象$F$の起こる条件付き確率$P_E(F)$を求めよ．