2021　九州工業大学　後期MathJax

$\mathrm{A}$君を含む$n$人が拡張じゃんけんを$1$回行う．$\mathrm{A}$君以外の$n-1$人の各人は，サム，グー，チョキ，パーの手をそれぞれ確率$p\text{，}$${\displaystyle \frac{1-p}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1-p}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1-p}{3}}$$\text{（}0<p<1\text{）}$で出すものとする．次に答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$君はサムを出す．$n=4\text{，}$$p={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$君はサムを出す．$n=4\text{，}$$p={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき$\mathrm{A}$君が負ける確率を求めよ．

(ⅲ)　$\mathrm{A}$君はグーを出す．$n=4\text{，}$$p={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．

(ⅳ)　$n=4\text{，}$$p={\displaystyle \frac{1}{4}}$で$\mathrm{A}$君がグーを出して勝ったとき，サムを出した人がいる条件付き確率を求めよ．

(ⅴ)　$\mathrm{A}$君はサムを出す．$\mathrm{A}$君が負ける確率を$p$と$n$を用いて表せ．

　まず，数直線上に$3$点${\mathrm{A}}_1(a_1)\text{，}$${\mathrm{B}}_1(b_1)\text{，}$${\mathrm{C}}_1(c_1)$をとり，その後，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$について，

・線分${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$を$1:3$に内分する点を${\mathrm{A}}_{n+1}$

・線分${\mathrm{C}}_n{\mathrm{A}}_n$を$3:1$に内分する点を${\mathrm{B}}_{n+1}$

・線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を$9:5$に外分する点を${\mathrm{C}}_{n+1}$

とする．ただし，数直線上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ点の場合は，線分$\mathrm{PQ}$を内分する点も外分する点もいずれも$\mathrm{P}$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}\text{，}$$c_{n+1}$のそれぞれを$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$a_n-b_n$を$a_1$と$b_1$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_{n+2}$を$a_n\text{，}$$b_{n+1}\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$a_{n+2}$を$a_{n+1}$と$a_n$を用いて表せ．

(ⅴ)　$a_{n+2}\text{，}$$a_{n+1}\text{，}$$a_n$の間には，ある実数$p\text{，}$$q$に対して，

$a_{n+2}-p{a}_{n+1}=q(a_{n+1}-p{a}_n)$

という関係が成り立つ．この関係を満たす組$(p,q)$をすべて求めよ．

(ⅵ)　$n\geqq 3$において，$a_n$を$a_1$と$a_2$を用いて表せ．

(ⅶ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1$を用いて表せ．

(ⅰ)　$3$つの内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　平行四辺形$\mathrm{OADB}$の面積$S$を求めよ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{r}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$が平行四辺形$\mathrm{OADB}$と垂直であるときの$s$と$t$の値を求めよ．

(ⅳ)　辺$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{OM}$と四角形$\mathrm{ADGC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(ⅴ)　辺$\mathrm{EF}$上の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と四角形$\mathrm{ADGC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，三角形$\mathrm{ACG}$の重心を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{QH}$が最小となるときの点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\mathrm{QH}$の最小値を求めよ．

(ⅰ)　$r$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　図形$D$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　$0<\theta <\pi$において$\sin \theta -\theta \cos \theta >0$であることを示せ．

(ⅳ)　$\theta$が変化するとき，(ⅱ)で求めた$S$の最大値を求めよ．

(ⅴ)　図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅵ)　(ⅴ)で求めた$V$について$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{V}{\theta }}$を求めよ．