2021　琉球大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　不等式$(x^2+y^2-2)(y-x^2)>0$の表す領域を図示せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　$15334$と$30381$の最大公約数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　方程式$2^x-{(\sqrt{2})}^{x+1}-4=0$を解け．

【２】　関数$f(x)=x^3-3x^2+4$について，次の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$の極値を調べ，そのグラフをかけ．

問２　曲線$y=f(x)$について，預きが$9$で$y$切片が正である接線の方程式を求めよ．

問３　問２で求めた接線と曲線$y=f(x)$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　関数$f(x)=2x^3-3x^2-6x+7$を考える．次の問いに答えよ．

問１　方程式$f(x)=0$を解け．

問２　$f(x)$が$x=\alpha \text{，}$$\beta$（ただし$\alpha <\beta$）で極値をとるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ（極値を求める必要はない）．

問３　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる領域のうち，$\alpha \leqq x\leqq \beta$を満たす部分の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2e^{-a_n}-1+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．次の問いに答えよ．ただし，$2<e<3$であることは証明なしに用いてよい．

問１　$f(x)=e^{-x}-1+x$とする．$0<x<1$のとき，不等式

$0<f(x)<{\displaystyle \frac{2}{3}}x$

が成り立つことを示せ．

問２　$b_n=a_n-\log 2$とする．すべての正の整数$n$について$0<b_n<1$となることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

問３　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$xy$平面上で，極方程式

$r={\displaystyle \frac{1}{1+\cos \theta }}$

により与えられる曲線$C$を考える．次の問いに答えよ．

問１　曲線$C$の概形を図示せよ．

問２　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，曲線$C$上の，極座標が$(r,\theta )$である点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の傾きは$-{\displaystyle \frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }}$であることを示せ．

問３　問２の点$\mathrm{P}$から$y$軸におろした垂線と$y$軸との交点を$\mathrm{H}\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{\angle OPH}$の二等分線と，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線は直交することを示せ．

【４】　袋$\mathrm{A}$には赤玉が$1$個と白玉が$2$個，袋$\mathrm{B}$には赤玉が$3$個と白玉が$2$個入っている．袋$\mathrm{B}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れ，よく混ぜてから，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して，色を見てから袋$\mathrm{A}$に戻す．さらに，よく混ぜてから，もう一度袋$\mathrm{A}$から玉を1個取り出す．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{B}$に白玉がちょうど$1$個残っている確率を求めよ．

問２　袋$\mathrm{A}$から最初に取り出す玉が白玉である確率を求めよ．

問３　袋$\mathrm{A}$から二度とも白玉を取り出す確率を求めよ．