2021　会津大学　前期MathJax

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_e^{e^2}}{\displaystyle \frac{1+\log (\log x)}{x}}\mathit{dx}=\text{イ}$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x{\cos }^{2}x\mathit{dx}=\text{ロ}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{l}}^n}{\displaystyle \frac{1}{{(n+k)}^2}}$を求めよ．$\text{ハ}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(3)　円$x^2+y^2=5$と直線$x+3y+c=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$c$の値の範囲を求めよ．$\text{ニ}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(4)　方程式${\log }_2(x+1)+{\log }_2(x+3)={\displaystyle \frac{2}{{\log }_{x}2}}+{\log }_2{\displaystyle \frac{7}{4}}$の解を求めよ．$\text{ホ}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(5)　${(1+\sqrt{3}i)}^{100}=a+bi$と表すとき，$a=\text{ヘ}\text{，}$$b=\text{ト}$である．ただし，$a\text{，}$$b$は実数とする．

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(6)　$0\leqq \theta \leqq \pi$において，$y={\cos }^2\theta -\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta$の最大値は$\text{チ}$であり，そのときの$\theta$は$\text{リ}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=(5n+5)a_n+(8n+8)\cdot n!$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n!}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．

(2)　(1)で定めた数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．$\text{ロ}$

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．$\text{ハ}$

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n{a}_n}}$を求めよ．$\text{ニ}$

【３】　一辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$がある．線分$\mathrm{OG}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{I}\text{，}$辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\mathrm{▵PFI}$の面積を$S$とおく．

　このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{FI}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{FI}}=\text{イ}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{FP}}$を$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}\text{，}$$t$用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{FP}}=\text{ロ}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{FI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FP}}$を$t$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{FI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FP}}=\text{ハ}$である．

(4)　$S^2$を$t$を用いて表すと$S^2=\text{ニ}$である．

(5)　$S$の最小値は$\text{ホ}$である．

【４】　赤玉$2$個と白玉$3$個が入った袋$\mathrm{A}$と，赤玉$2$個と白玉$1$個が入った袋$\mathrm{B}$と，赤玉$1$個と白玉$2$個が入った袋$\mathrm{C}$がある．最初に，袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜる．次に，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{C}$に入れ，よくかき混ぜる．最後に，袋$\mathrm{C}$から$1$個の玉を取り出す．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　袋$\mathrm{B}$から取り出した玉が白玉である確率は$\text{イ}$である．

(2)　袋$\mathrm{C}$から取り出した玉が白玉である確率は$\text{ロ}$である．

(3)　少なくともひとつの袋から白玉を取り出す確率は$\text{ハ}$である．

(4)　袋$\mathrm{C}$から取り出した玉が赤玉であったとき，袋$\mathrm{A}$から取り出した玉が白玉である確率は$\text{ニ}$である．

【５】　関数$f(x)={(x-1)}^2{(x+2)}^2{e}^x$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，極値を調べて，増減表をかけ．その際，極大値，極小値を明確にかくこと．ただし，$C$の凹凸，変曲点は調べなくてよい．（結論に至る過程も記述すること．）

(2)　実数の定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$に対して，$F(x)=(x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d)e^x$が$F^{\prime }(x)=f(x)$をみたすとき，$F(x)$を求めよ．$F(x)=\text{イ}$

(3)　$-2\leqq x\leqq 1$の範囲において，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．(2)の結果を用いて，$S$を求めよ．$S=\text{ロ}$

【６】　$\theta$をすべての自然数$n$に対して$\cos n\theta \ne 0$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$を次で定義する．

$a_1=-\tan \theta \text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n\cos \theta -\sin \theta }{a_n\sin \theta +\cos \theta }}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，すべての自然数$n$に対して

$a_n=-\tan n\theta$

がなりたつことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．