2021　福島県立医科大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いについて答えだけを書け．

(1)　不等式${\log }_3(5-x^2)+{\log }_{\frac{1}{3}}(5-x)$$\geqq {\log }_9(x^2-2x+1)-1$を解け．

【１】　以下の各問いについて答えだけを書け．

(2)　関数$f(x)=|x^2+x-2|+|x^2-x-2|$の極小値を$a\text{，}$極大値を$b$とする．方程式$2f(x)=a+b$の解をすべて求めよ．

【１】　以下の各問いについて答えだけを書け．

(3)　関数$f(x)$がすべての実数$x$について，$f(x)=x+{\displaystyle {\int }_0^1}{2}^{2t+x}f(t)\mathit{dt}$を満たしているとき，$f(0)$の値を求めよ．

【１】　以下の各問いについて答えだけを書け．

(4)　$3$または$4$の倍数である自然数を小さい順に並べた数列を$\{a_i\}$とする．自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{i=1}^{6n}}{a}_i$を$n$で表わせ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$7$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{E}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{F}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{G}$$(1,1,1)$がある．四面体$\mathrm{ODEF}$と四面体$\mathrm{ABCG}$の共通部分を$V$として，以下の問いに答えよ．ただし，$0<t<1$とする．

(1)　平面$z=t$と$4$辺$\mathrm{OE}\text{，}$$\mathrm{OF}\text{，}$$\mathrm{DE}\text{，}$$\mathrm{DF}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$の座標を$t$で表わせ．

(2)　四面体$\mathrm{ODEF}$を平面$z=t$で切ったときの断面積を$t$で表わせ．

(3)　$V$を平面$z=t$で切ったときの断面積を$t$で表わせ．

(4)　$V$の体積を求めよ．

(5)　$V$に内接する球の半径を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\sin }^{2}x\cos 2x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の$0\leqq x\leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　$3$色のカードがそれぞれ$5$枚ずつあり，どの色のカードにも$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれている．$1$回目，この$15$枚のカードから無作為に$3$枚取り出す．$2$回目，残り$12$枚のカードから無作為に$3$枚取り出す．$1$回目に取り出したカードの色がすべて異なるという事象を$A\text{，}$$1$回目に取り出したカードの数字の合計が偶数であるという事象を$B\text{，}$$2$回目に取り出したカードの数字の合計が偶数であるという事象を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　確率$P(A)$を求めよ．

(2)　確率$P(B)$を求めよ．

(3)　条件付き確率$P_B(A)$を求めよ．

(4)　条件付き確率$P_{A\cap B}(C)$を求めよ．