2021　東京都立大　後期MathJax

2021　東京都立大　後期

都市教養（化学除く），都市環境，システムデザイン学部

易□　並□　難□

【１】　関数

$f (x) = (\log_{3} x - 6) \log_{3} x$ $+ (\log_{x} 3 - 6) \log_{x} 3$ $（ 3 ≦ x ≦ 81 ）$

に対し，以下の問いに答えなさい．

(1)　 $t = \log_{3} x + \log_{x} 3$ とおく． $x$ が $3 ≦ x ≦ 81$ の範囲を動くとき， $t$ のとりうる値の範囲を求めなさい．

(2)　 $f (x)$ を(1)で与えた $t$ で表しなさい．

(3)　 $f (x)$ の最大値および最小値と，そのときの $x$ の値をそれぞれ求めなさい．

2021　東京都立大　後期

都市教養（化学除く），都市環境，システムデザイン学部

易□　並□　難□

【２】　 $k$ を正の実数とする．座標平面上の点 $A$ $(0, 1)$ と曲線 $C ： y = k x^{2}$ $（ x ≧ 0 ）$ に対し，以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線 $C$ 上の点で， $A$ から最も近い点を $P$ とする． $P$ の座標を $k$ を用いて表しなさい．

(2)　 $k$ が正の実数の範囲で変化するとき， $P$ の軌跡を図示し， $P$ の $x$ 座標の最大値を求めなさい．

2021　東京都立大　後期

都市教養（建築除く），都市環境，システムデザイン学部

易□　並□　難□

【３】　赤玉が $3$ 個と白玉が $5$ 個入った袋がある．袋から玉を $1$ 個ずつ取り出していき，残った玉が赤玉だけ，または白玉だけになったとき終了する．以下の問いに答えなさい．

(1)　最初から $3$ 個連続で赤玉を取り出す確率を求めなさい．

(2)　終了までに取り出した玉の個数が $4$ 個以下である確率を求めなさい．

(3)　白玉も赤玉もそれぞれ $2$ 個以上取り出して終了する確率を求めなさい．

(4)　終了時に袋に赤玉が残っているとき，最初に取り出した玉が赤玉である確率を求めなさい．

2021　東京都立大　後期

都市教養（化学，建築除く），都市環境，システムデザイン学部

易□　並□　難□

【４】　 $t$ を $0 < t < \frac{π}{2}$ をみたす実数とする．座標平面において，曲線 $C$ と直線 $l$ を

$C ： y = x \sin x$ $（ 0 ≦ x ≦ π ）$

$l ： y = (\sin t) x$

で定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　 $0 ≦ x ≦ π$ および $x \sin x ≧ (\sin t) x$ をみたす $x$ の範囲を $t$ を用いて表しなさい．

(2)　曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする． $S$ を $t$ を用いて表しなさい．

(3)　 $t$ が $0 < t < \frac{π}{2}$ の範囲を動くとき，(2)の面積 $S$ の値が最小となる $t$ を求めなさい．