2021　富山県立大学　前期工学部MathJax

【１】　${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}48$を求めよ．

(2)　${10}^{0.84}<7<{10}^{0.85}$を示せ．

【２】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$がある．このとき，

$X=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$Y=\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$Z=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$

とする．$XY=ZX$を満たすとき，$\mathrm{▵ABC}$はどのような三角形か答えよ．

【３】　関数$f(x)=-(x^2-2x-3)e^x$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて表にまとめよ．

(3)　$a$を実数とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^a}x{e}^x\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$a$を実数とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．また，${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)\mathit{dx}=1$となる$a$の値をすべて求めよ．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．$C$上に点${\mathrm{P}}_n$$(x_n,{\displaystyle \frac{1}{x_n}})$を次の条件

$x_1=1\text{，}$$x_n<x_{n+1}$（$n$は正の整数）

を満たすようにとる．また，$C\text{，}$直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n\text{，}$および直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_n\text{，}$$x_{n+1}$を用いて$S_n$を表せ．

(2)　$S_n={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$となるとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．