2021　名古屋市立大　後期MathJax

【１】　$k$を定数とする．関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx+1$は$x=\alpha$で極大になり．$x=\beta$で極小になるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k<1$であることを示せ．

(2)　$\alpha +\beta$の値を求めよ．また．$\alpha \beta$を$k$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$を${\displaystyle \frac{1}{3}}{f}^{\prime }(x)$で割ったときの余りを求めよ．また，$f(\alpha )f(\beta )$を$k$を用いて表せ．

(4)　方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解をもつように，$k$の値の範囲を定めよ．

【２】　辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{OC}$上にとる．$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=1:2\text{，}$$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=1:2\text{，}$$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}=1:2\text{，}$$\mathrm{CS}:\mathrm{SO}=1:2$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに，$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$が同一平面上に存在しないことを示せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PS}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めよ．

(3)　平面$\mathrm{PQS}$上に点$\mathrm{H}$をとる．直線$\mathrm{RH}$が平面$\mathrm{PQS}$と直交するとき．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに，四面体$\mathrm{PQRS}$の体積を求めよ．

【３】　$n$は自然数とする．$xy$平面上に点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n\text{，}$$\cdots$がある．点${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$で表す．各点の座標は次の規則に従って定まっている．

$(x_1,y_1)=(1,0)\text{，}$$(x_{n+1},y_{n+1})=\{\begin{array}{ll}(2x_n,y_n)& x_n=y_n\text{のとき}\\ (x_n,y_n+1)& x_n\ne y_n\text{のとき}\end{array}$

次の問いに答えよ．

(1)　$t(n)=2^n+n+1$とするとき

$(x_{t(n)},y_{t(n)})=(2^n,2^n)$

となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(2)　${\mathrm{P}}_{8200}$の$x$座標を求めよ．

(3)　数列$\{y_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．このとき，$S_{130}$を求めよ．

【４】　$N$個の玉が入った袋と空の箱がある．玉には$1$番から$N$番までの異なる番号がつけられている．また，$1$番から$M$番までは赤い玉，$(M+1)$番から$N$番までは白い玉である．袋の中から無作為に$r$個の玉を取り出して箱の中に移すという試行を$k$回繰り返したときに，箱の中の赤い玉が$s$個であるという事象を$E(k,s)$とする．次の(1)〜(4)の空欄ア〜シに当てはまる式を求めよ．ただし，$N\geqq 2\text{，}$$1\leqq r(r+1)\leqq M\text{，}$$1\leqq r(r+1)\leqq N-M$であるものとする．なお，(1)〜(3)については解答だけでよい．また，${}_{n}C_m$は$n$個から$m$個取る組合せの総数を表す．

(1)　試行を$r$回繰り返した直後に，箱の中にある玉の組合せの総数$X$を$N\text{，}$$r$を用いて表すと

$X={}_{\text{ア}}C_{\text{イ}}$

である．

(2)　$E(r,s)$が起きた直後に，箱の中にある赤い玉の組合せの総数$Y$を$M\text{，}$$s$を用いて表すと

$Y={}_{\text{ウ}}C_{\text{エ}}$

である．

(3)　確率$P(E(r,s))$を$N\text{，}$$M\text{，}$$r\text{，}$$s$を用いて表すと

$P(E(r,s))={\displaystyle \frac{Y\times {}_{\text{オ}}C_{\text{カ}}}{X}}$

である．

(4)　$t$は自然数で$t\leqq s\text{，}$$t\leqq r$とするとき，$E(r,s-t)$が起こったときの$E(r+1,s)$が起こる条件付き確率$P(E(r+1,s)|E(r,s-t))$を$N\text{，}$$M\text{，}$$r\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表すと

$P(E(r+1,s)|E(r,s-t))={\displaystyle \frac{{}_{\text{ケ}}C_{\text{コ}}\times {}_{\text{サ}}C_{\text{シ}}}{{}_{\text{キ}}C_{\text{ク}}}}$

である（求める手順をわかりやすく説明すること）．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<\pi$の範囲で，方程式${\sin }^{3}x=\sin 2x$は，ただ$1$つの解をもつことを示せ．また，その解を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，$2$つの曲線$y={\sin }^{3}x$と$y=\sin 2x$で囲まれた部分の面積を求めよ．