2021　奈良県立医科大学　推薦医学科MathJax

【１】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$a$と$t$を正の実数とする．関数$y=\sqrt{ax}$で定まる曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,\sqrt{at})$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$点$(a,0)$を$\mathrm{R}$とおき，$C$と線分$\mathrm{PQ}$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$$C$と線分$\mathrm{PR}$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$における $C$の接線の方程式は$y=\text{ア}x+\text{イ}$である．

(2)　$S_1=\text{ウ}\text{，}$$S_2=\text{エ}$である．

(3)　$a$は正の定数とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとすると，$S_2-S_1$の最大値は$\text{オ}$である．$t$の動く範囲を$0<t\leqq \text{カ}$とすると，$|S_2-S_1|$の最大値を与える$t$は$2$つ存在する．

【２】　以下の空欄にあてはまる言葉を，

X：必要条件でも十分条件でもない

Y：必要条件であるが十分条件でない

Z：十分条件であるが必要条件でない

W：必要十分条件である

から選び，記号X，Y，Z，Wで答えよ．

(1)　実数$x\text{，}$$a$に対し，方程式$2^x=a$を満たす正の$x$が存在することは，$a>0$であるための$\text{ア}\text{．}$

(2)　$2$つの変数$x\text{，}$$y$についてのデータの組$(-1,-1)\text{，}$$(-1,1)\text{，}$$(1,-1)\text{，}$$(1,b)$に対し，$b=1$であることは，$x$と$y$に対する相関係数が$0$であるための$\text{イ}\text{．}$

(3)　$0\leqq x\leqq 1$で定義された連続な関数$f(x)$に対し，${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=0$であることは，$f(a)f(b)<0$となる$a\text{，}$$b$$\text{（}0\leqq a\leqq b\leqq 1\text{）}$が存在するための$\text{ウ}\text{．}$

(4)　複素数$z$に対し，$z$が純虚数であることは，$z^3$が純虚数であるための$\text{エ}\text{．}$

(5)　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす点$\mathrm{P}$がある．$s\text{，}$$t$は実数である．$s+t=1$であることは，点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$上にあるための$\text{オ}\text{．}$

【３】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$に関する以下の整式を考える．

$F_1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1\text{，}$$F_2(x,y,z)=2z^2-x^2-y^2\text{，}$

$F_3(x,y,z)=x^2-y^2\text{，}$$F_4(x,y,z)=xyz$

(1)　連立方程式$F_1(x,y,z)=F_2(x,y,z)$$=F_3(x,y,z)=0$の解は，$xyz$空間の中で複数個の点を定める．それらの点を頂点とする凸多面体は$\text{ア}$である．

(2)　連立方程式$F_1(x,y,z)=F_3(x,y,z)$$=F_4(x,y,z)=0$の解は，$xyz$空間の中で複数個の点を定める．それらの点を頂点とする凸多面体は$\text{イ}$である．

【４】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　ここでは，病気$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれか一つにり患している人を患者と呼ぶ．患者が病気$\mathrm{X}$にり患している確率を$P(\mathrm{X})$とするとき，$P(\mathrm{A})>0\text{，}$$P(\mathrm{B})>0\text{，}$$P(\mathrm{C})=P(\mathrm{D})=0.2$が分かっている．患者に症状$\mathrm{S}$が現れたとき，その原因は病気$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれかであり，症状$\mathrm{S}$が現れる確率を$P(\mathrm{S})$とする．患者が病気$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にり患したときに症状$\mathrm{S}$が現れる確率は，それぞれ$P_{\mathrm{A}}(\mathrm{S})=0.8\text{，}$$P_{\mathrm{B}}(\mathrm{S})=0.4\text{，}$$P_{\mathrm{C}}(\mathrm{S})=0.7\text{，}$$P_{\mathrm{D}}(\mathrm{S})=0.9$である．症状$\mathrm{S}$が現れているときに病気$\mathrm{X}$にり患している確率を$P_{\mathrm{S}}(\mathrm{X})$と表すと，$P_{\mathrm{S}}(\mathrm{C})P(\mathrm{S})=\text{ア}\text{，}$$P_{\mathrm{S}}(\mathrm{D})P(\mathrm{S})=\text{イ}$である．$\mathrm{X}=\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$に対して

$P_{\mathrm{S}}(\mathrm{X})<P_{\mathrm{S}}(\mathrm{A})$

が成り立つとき，すなわち症状$\mathrm{S}$に対して最も確からしい原因が病気$\mathrm{A}$であるとき，$P(\mathrm{A})$のとり得る値の範囲は$\text{ウ}<P(\mathrm{A})<\text{エ}$である．

【５】　素数$p$は，正整数$x\text{，}$$y$を用いて$p=x^3+y^3$で表せるとする．

(1)　整式$u^3+v^3$を因数分解せよ．

(2)　$x+y=p$を証明せよ．

(3)　$p=2$を証明せよ．